كيفية تحليل الفرق بين مربعين

كتابة - آخر تحديث: الأحد ٢١ يوليو ٢٠١٩
كيفية تحليل الفرق بين مربعين

الجبر

بدأ تطوُّر علم الجَبْر في عهد المصريين قبل حوالي 3500 عام، حيث كَتَب المصريون القدماء المسائل الرياضيّة باستعمال الحروف، وبالأخصّ كلمة (كومة) التي كانت تدلّ على العدد غير المعروف (المجهول)، وفي عام 300ق.م، ألَّف العالِم الإغريقيّ الشهير إقليدس كتابه الأصول، الذي كان يتضمّن عدّة مُتطابِقات توصَّل إليها أثناء دراسته للأشكال الهندسيّة. أمّا أشهر العلماء المُسلِمين الرياضيين، وبالذات في علم الجَبْر، فهو الخوارزميّ؛ حيث نَجح في حلّ المُعادَلات ذات الدرجة الثانية بشكل هندسيّ، كما نَشر أوّل جداول للنِّسَب المُثلَّثية، وهي جداول الجيب، والجتا، والظلّ، وألَّف العديد من الكتب، منها كتابه الشهير الجَبْر والمُقابَلة، حيث وضَّح فيه طُرُق تبسيط المُعادَلات، وذلك بإجراء نفس العمليات الحسابيّة على كلا الطرفين، وشَرَح أيضاً عمليّة الاختزال التي تُعنى بجَمْع أقسام المُعادَلة المُختلِفة؛ لتبسيط حلِّها، وتُعَدُّ هاتان العمليّتان من أبرز التقنيات المُستخدَمة حالياً في علم الجبر، الذي سُمِّيَ بهذا الاسم؛ نسبةً لعنوان كتابه الجَبْر والمُقابَلة.[١]


الفرق بين مُربَّعين وتحليله

الفرق بين مُربَّعي حَدَّين هو إحدى صِيَغ المُعادَلة التربيعيّة، أو المُعادَلة ذات الدرجة الثانية،[٢] وهو عبارة عن حَدَّين مُربَّعين، أحدهما مطروح من الآخر، وهو يُساوي الفرق بين الحَدَّين مضروباً في مجموعهما، مع مُراعاة الترتيب في الحدود، وبصورة أخرى هو حاصل ضَرْب (الحَدِّ الأوّل مَطروحاً منه الحَدُّ الثاني) في (الحَدِّ الأوّل مُضافاً إليه الحَدُّ الثاني).[١]


أما الصورة العامة للفرق بين مُربَّعين فهي: س²- ص²، حيث إنّ:[١]

  • س²: هو مُربَّع الحَدِّ الأوّل.
  • ص²: هو مُربَّع الحَدِّ الثاني.
  • والإشارة بينهما هي إشارة طَرْحٍ أو فَرْقٍ، وبهذا فهي تُمثِّل فَرقاً بين مُربَّعي حَدَّين، أو فَرقاً بين مُربَّعَين.


ولتحليل الفرق بين مُربَّعين إلى عوامله، يجب التأكُّد أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على الصورة العامة (س²- ص²)، ومن ثمّ يتمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:[١]

  • فَتْح قوسين العلاقة بينهما ضَرْب: ( )( )
  • تُكتَب في القوس الأول إشارة الجَمْع، وفي القوس الثاني إشارة الطَّرْح: ( + )( - )
  • يُكتَب الحَدُّ الأوّل في كلا القوسين قبل إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س+ )(س- )
  • يُكتَب الحَدُّ الثاني في كلا القوسين بعد إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س+ص)(س-ص)
  • وهكذا يكون الشكل النهائي:
س²-ص²=(س+ص)(س-ص)
  • يُعبَّر عن الفَرق بين مُربَّعين بالكلمات كما يأتي:
مُربَّع الحَدِّ الأوّل-مُربَّع الحَدِّ الثاني=(الحَدّ الأوّل-الحَدّ الثاني)(الحَدّ الأوّل+الحَدّ الثاني).


أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُربَّعين

  • مثال1:حلل المِقدار التالي إلى عوامله الأوليّة 4ع²-9.[٣]
الحل:
نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 4ع² عبارة عن مُربَّع كامل =2ع×2ع، كما أنّ الحَدَّ الثاني 9عبارة عن مُربَّع كامل=3×3، وبما أنَّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مُربَّعين.
4ع²-9= (2ع)²-²3.
نحلل المِقدار (2ع)²-²3 كالآتي:
(2ع)²-²3= (2ع-3)(2ع+3).
  • مثال2:حلل المقادير الجبريّة الآتية إلى عواملها.[١]
  • س²-16
الحل:
نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول س² هي عبارة عن مُربَّع كامل =س×س، كما أنّ الحَدَّ الثاني 16عبارة عن مُربَّع كامل=4×4، وبما أنّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مُربَّعين.
س²-16= س²-²4.
نحلل المِقدار س²-²4 كالآتي:
س²-²4= (س-4)(س+4).
  • 49م²-ك²
الحل:
يُلاحَظ في هذا المِقدار أنَّ الحَدََّ الأول 49م² هو عبارة عن مُربَّع كامل=7م×7م، والحَدّ الثاني ك² هو أيضاً عبارة عن مُربَّع كامل= ك×ك، وبما أنّ العلاقة بين الحَدَّين طَرْح، إذن هو على صورة فَرْقٍ بين مُربَّعين.
49م²-ك²= (7م)²-ك².
نحلل المِقدار (7م)²-ك² كالآتي:
س²-²4= (7م-ك)(7م+ك).
  • (ص+1)² -1
يُلاحَظ في هذا المِقدار (ص+1)² -1 أنّه عبارة عن فَرْق بين مُربَّعين، بحيث أنّ (ص+1)²هو الحَدّ الأول، والعدد 1هو الحَدّ الثاني، وبما أنّ العدد 1 مُربَّع كامل (²1=1)، فإنّ:
(ص+1)² -1= (ص+1)² -²1
نحلل المِقدار (ص+1)² -²1 كالآتي:
(ص+1)² -²1= ((ص+1) -1)((ص+1) +1).
  • مثال3:بالاعتماد على تحليل الفَرق بين مُربَّعين، جد قيمة كلٍّ من المقادير الآتية:
  • (8.5)²-(3.5)².
الحل:
يُلاحَظ أنّ هذا المِقدار يمكن حلُّه بأكثر من طريقة، وبما أنّه طُلِب منّا استخدامُ طريقة تحليل الفَرق بين مُربَّعين، وجب اتّباعها كالآتي:
(8.5)²-(3.5)²= (8.5 -3.5) (8.5 +3.5).
(8.5)²-(3.5)²=(5)(12).
إذن ناتج المقدار (8.5)²-(3.5)²يساوي 60.
  • (7)²-(1.25)²
الحل:
نستخدم طريقة تحليل الفَرق بين مُربَّعين.
(7)²-(1.25)²= (7 -1.25) (1.25+7).
(7)²-(1.25)²=5.75×8.25
إذن ناتج المِقدار (7)²-(1.25)²=47.4375
  • مثال4: حلل المِقدار الجبريّ (6ب²-24ع²) إلى عوامله.
الحل:
نلاحظ أنّ الحَدّ الأول 6ب² ليس مُربَّعاً كاملاً، كما أنّ الحَدّ الثاني 24ع² ليس مُربَّعاً كاملاً أيضاً، ولنجعل المِقدار الجبريّ السابق فَرقاً بين مُربَّعين، نُخرج العدد 6 كعامل مُشترَك بين الحَدَّين؛ حيث إنّه عند إخراج العدد 6 من الحَدَّين، يصبح كلاهما مُربَّعاً كاملاً.
6ب²-24ع²= 6(ب²-4ع²).
6ب²-24ع²= 6((ب²)-(2ع)²).
نحلل المقدار 6((ب²)-(2ع²)) كالتالي:
6ب²-24ع²=6((ب²)-(2ع²))= 6(ب-2ع)(ب+2ع).
الحل:
نلاحظ أنّ (102×98) عبارة عن حاصل ضَرْب عددين، حيث يمثِّل العدد الأول 102=100+2، والعدد الثاني98=100-2.
(102×98)=(100 +2)(2-100)
(102×98)=(10000 -4).
إذن ناتج المِقدار(102×98) يساوي9996.


الفَرق بين مُكعَّبين وتحليله

الفَرق بين مُكعَّبين هو عبارة عن (الحَدّ الأول- الحَدّ الثاني) (مُربَّع الحَدّ الاول+ الحَدّ الأول×الحَدّ الثاني+ مُربَّع الحَدّ الثاني)، وبالرموز س³-ص³=(س-ص)(س²+س ص+ص²).[١]


أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُكعَّبين

  • مثال1:حلل المقادير الجبريّة الآتية إلى عواملها الأوليّة.[١]
  • 8س³-27
الحل:
المِقدار 8س³-27 هو عبارة عن فَرق بين مُكعَّبين.
8س³ -27= (2س)³ -(3
نحلل المِقدار كالآتي:
(2س)³ -(3)³= (2س -3)((2س)²+ (2س×3) +(3)²).
(2س)³ -(3)³= (2س -3)(4س²+ 6س+9).
  • 8س³- ص6
الحل:
الِمقدار 8س³-ص6 هو عبارة عن فَرق بين مُكعَّبين.
8س³-ص6= (2س)³- (ص²)³
نحلل المِقدار كالآتي:
(2س)³-(ص²)³= (2س-ص²)((2س)²+(2س×ص²)+(ص²)²).
(2س)³-(ص²)³= (2س-ص²)(4س²+(2س ص²)+(ص4).


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح خ زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 24-28، الوحدة الأولى الجزء الأول، ملف1-45، جزء أول. بتصرّف.
  2. معروف عبد الرحمن سمحان، وعبير بنت حميدي الحربي، وجواهر بنت أحمد المفرج، رياضيات الأولمبياد: الجبر: Mathematics Olympiad: Algebra، صفحة: 184. بتصرّف.
  3. "Special Binomial Products", www.mathsisfun.com. Edited.