بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين

الجبر

كانت بدايات علم الجَبْر في زمن المصريين القدماء، فكان ذلك قبل حوالي 3500 عام، حيث قام المصريون بكتابة المسائل عن طريق الحروف، وكان مصطلح (كومة) يمثل العدد (المجهول). كما قام إقليدس في عام 300 ق.م بتأليف كتابه الأصول، والذي كان يتناول مُتطابِقات عديدة تم التوصَّل إليها عن طريق دراسته للأشكال الهندسيّة. أمّا بالنسبة لأشهر علماء المُسلِمين المختصين بفرع الرياضيات، وبالأخص في (علم الجَبْر)، فهو محمد الخوارزميّ؛ حيث تفوّق في حلّ المُعادَلات بشكل هندسيّ، كما أنه قام بعرض أوّل جداول تخص النِّسَب المُثلَّثية، وهي (جداول الجيب، والجتا، والظلّ)، ومن مؤلفاته كتاب الجَبْر والمُقابَلة، أوالمختصر في حساب الجبر والمقابلة، حيث تُرجِم في (القرن الثاني عشر) إلى اللاتينية، واحتوى هذا الكتاب على عدة أمور، منها كيفيّة حساب مساحات الأشكال الهندسية، كما أنّه رسّخ علم الجبر في توزيع الميراث، وتناول الكتاب أيضاً موضوع تأثير الأفكار البابلية في علم الرياضيات.^[١][٢]

الفرق بين مكعبين وتحليله

التعبير بالمقادير الجبرية عن الفرق بين مكعبين

هنالك العديد من المسائل والمشاكل اليومية التي تحتاج إلى تفسيرات جبرية، كما أن هنالك العديد من الأحداث الواقعية التي يلزم التعبير عنها عبر المقادير الجبرية؛ وذلك لتسهيل حلها وإيجاد المطلوب بشكل أكثر سهولة وسلاسة. وفيما يأتي مثال من الحياة اليومية وكيفية التعبير عنه بالطريقة الجبرية.^[٢]

إذا وُجد خزانان من المياه مكعّبي الشكل، حيث إن طول ضلع الخزان الأول (الأكبر) س، وطول ضلع الخزان الثاني (الأصغر) ص، علماً بأن الخزان الأول مملوءٌ بالماء ويعمل على صب الماء في الخزان الثاني، حتى يمتلئ الخزان الثاني تماماً، وليتم التعبير بصورة جبرية عن كمية المياه المتبقية في الخزان الكبير لا بد من اتباع الخطوات الآتية:^[٢]

• يُحدد حجم الماء الموجود في الخزان الأول، وبما أن الخزان على شكلٍ مُكعّبٍ، فحجم المكعب= طول الضلع تكعيب، أي حجم الماء بالخزان الأول= س³.
• يحدد حجم الماء الموجود بالخزان الثاني، وبما أن الخزان الثاني أيضاً مكعب، فحجم الماء في الخزان الثاني= ص³.
• حساب كمية المياه المتبقية في الخزّان الأول بعد العمل على ملء الخزان الثاني، ويكون ذلك عن طريق طرح حجم المياه الموجودة في الخزان الثاني من كمية المياه الموجودة في الخزان الأول، وبهذا فإن كمية المياه المتبقية بالخزان= س³-ص³. وهذا المقدار الجبري هو بالضبط ما يُسمّى بالفرق بين مكعبين، أي طرح حدين مكعبين من بعضهما البعض.
• وبهذا تكون الصيغة العامة للفرق بين مكعبين هي: س³-ص³.

تحليل الفرق بين مكعّبين

الفرق بين مكعبين حالة خاصة من كثيرات الحدود،^[٣] وهوعبارة عن طرح حدين يمثل كل منها مكعباً كاملاً، أو يمكن كتابته على صورة مكعب كامل، ولتحليل مثل هذا المقدار لا بد من القيام بالخطوات الآتية:^[٢]

• الخطوة الأولى: يُكتب المقدار بصورة الفرق بين مكعبين.
• الخطوة الثانية: يُطرح الحد الثاني من الحد الأول.
• الخطوة الثالثة: يُربع الحد الأول.
• الخطوة الرابعة: إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني.
• الخطوة الخامسة: يُربع الحد الثاني.
• الخطوة السادسة: تطبق صيغة تحليل الفرق بين مكعبين، كالآتي:

تحليل الفرق بين مكعبين= (الحد الأول)³- (الحد الثاني)³ =(الحد الأول- الحد الثاني)×(الحد الأول تربيع+الحد الأول× الحد الثاني+ الحد الثاني تربيع).

وبالرموز: س³-ص³= (س-ص)×(س²+س ص+ص²)، حيث إن س الحد الأول، وص الحد الثاني.

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

• المثال الأول: حلل المِقدار الآتي إلى عوامله: 8ع³-27.^[٢]

الحل:

نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 8ع³ عبارة عن مكعب كامل= 2ع×2ع ×2ع، كما أنّ الحَدَّ الثاني 27 عبارة عن مكعّبٍ كامل=3×3×3، وبما أنَّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مكعبين.

8ع³-27= (2ع)³-³3.

نُحلّل المِقدار (2ع)³-³3 كالآتي:

(2ع)³-³3 = (2ع-3)×((2ع)²+(2ع×3)+ (²3)).

(2ع)³-³3 = (2ع-3)×(4ع²+6ع+9).

• المثال الثاني: حلل العبارة الآتية: 8س³-ص⁶.^[٢]

الحل:

نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 8س³ عبارة عن مكعب كامل =2س×2س ×2س، كما أنّ الحَدَّ الثاني ص⁶ عبارة عن مكعب كامل=ص²×ص²×ص²، وبما أنَّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مكعبين.

8س³-ص⁶= (2س)³-(ص²)³.

نحلل المِقدار (2س)³-(ص²)³ كالآتي:

(2س)³-(ص²)³= (2س-ص²)×((2س)²+(2س×ص²)+ (ص²)²).

(2س)³-(ص²)³= (2س-ص²)×(4س²+(2س× ص²)+ ص⁴).

• المثال الثالث: حلل العبارة الآتية: (س+3)⁴-س-3.^[٢]

الحل:

الحَد الأول لا يمثل مكعّباً كاملاً، كما أنّ الحَدَّ الثاني لا يمثل أيضاً مكعباً كاملاً.

يلاحظ هنا بأن (س+3) عامل مشترك بين الحدين.

يتم إخراج (س+3) عاملاً مشتركاً بين الحدين، وبهذه الحالة سيتم بسهولة تحويل هذا المقدار إلى صورة فَرْقٍ بين مكعبين، كالآتي:

(س+3)⁴-س-3= (س+3)⁴-(س+3).

نخرج (س+3) عاملاً مشتركاً.

(س+3)×((س+³3) -1)

(س+3)×((س+3)³ -1)

= (س+3)×((س+3-1)×((س+3)²+(س+3)+1)).

تُبسّط المقادير التي بحاجة لتبسيط، وتحلل المقادير المراد تحليلها كالآتي:

(س+3-1)= (س+2)

(س+3)² هذه العبارة تمثل عبارة تربيعية تحلل حسب القانون الآتي: (الحد الأول تربيع+ 2 ×الحد الأول × الحد الثاني+ الحد الثاني تربيع).

(س+3)²= (س²+2×س×3+²3)، (س+3)²= (س²+6س+9).

وبالرجوع للمقدار الأصلي، ينتج أن:

(س+3)×((س+3) -1)= (س+3)×((س+2)×(س²+6س+9 +س+3+1)).

(س+3)×((س+2)= (س+3)×((س+2)×(س²+7س+13)).

• المثال الرابع: حلل العبارة الآتية: 64-125، باستخدام تحليل الفرق بين مكعبين.^[٤]

الحل:

نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 125 عبارة عن مكعب كامل =5×5 ×5، كما أنّ الحَدَّ الثاني 64عبارة عن مكعب كامل= 4×4×4.

64-125= (5)³-(4)³.

(5)³-(4)³ = (4-5)×((5)²+(5×4)+(4)²)

(5)³-(4)³ = (1)×(25 +20+ 16).

(5)³-(4)³ = 61.

المراجع

1. ↑ Munther Younes‏،Yomna Chami‏، Arabiyyat Al-Naas (Part Three): An Advanced Course in Arabic (الطبعة الأولى)، صفحة: 79، جزء الثالث. بتصرّف.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 24,29,26,28، الوحدة الأولى الجزء الأول، ملف1-45، جزء أول. بتصرّف.
3. ↑ "Difference of Two Cubes", www.mathsisfun.com. Edited.
4. ↑ "Binomials: Sum and Difference of Two Cubes", www.study.com. Edited.