تحليل الفرق بين مكعبين

المُكعّب

يُطلق على الجسم الذي يتكون من ستة أوجه يمثل كل منها شكلاً مستوياً، وله 12حرفاً جميعها متساوية ومتطابقة في الطول، وقياس كل زاوية من زوايا أوجهه تساوي 90 درجة بالمكعب (Cube). أما مكعّبات الأعداد (بالإنجليزية: Cube of a number)، فمكعب أي عدد يعني ضرب العدد بنفسه ثلاث مرات أي العدد مرفوعاً للأس ثلاثة. وأمّا بالنسبة للجذور التكعيبية للأعداد (بالإنجليزية: Cube root of a number) هو الرقم الذي ضُرِب بنفسه ثلاث مرات كان الناتج هو العدد الموجود تحت إشارة الجذر، وعلى سبيل التوضيح الجذر التكعيبي للعدد ثمانية يساوي اثنان، وذلك لأن 8=2× 2 ×2.^[١]

الفرق بين مكعبين وتحليله

الفرق بين مكعبين هو حالة خاصة من متعدد الحدود،^[٢] وهو عبارة عن حَدَّين يمثل كل منهما مكعّباً كاملاً، أحدهما مطروح من الآخر، حيث إن الصيغة العامة للفرق بين مُكعبين فهي: س³- ص³، حيث إنّ:^[٣]

• س³: هو مكعب الحَدِّ الأوّل.
• ص³: هو مكعب الحَدِّ الثاني.
• والإشارة بين الحدين هي إشارة فَرْقٍ أو طرح، وبهذا فهي تُمثِّل فَرقاً بين مكعبي حَدَّين، أو فَرقاً بين مكعبين.

وهو يُساوي الفرق بين الحَدَّين مضروباً في مربع الحدّ الأول بالإضافة إلى حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني بالإضافة إلى مربع الحد الثاني، مع مُراعاة الترتيب في الحدود، وبصورة أخرى هو حاصل ضَرْب (الحَدِّ الأوّل مَطروحاً منه الحَدُّ الثاني) في (مربع الحَدِّ الأوّل مُضافاً إليه حاصل ضرب الحد الأول في الثاني مضافاً إليه مربع الحد الثاني).^[٣] ولتحليل الفرق بين مكعبي حدين إلى عوامله، يجب التحقق أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على صورة الصيغة العامة وهي: (س³- ص³)، ومن ثمّ يتمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:^[٤][٣]

• فَتْح قوسين، بحيث تكون العلاقة بينهما ضَرْب: ( )×( )
• تُكتَب في القوس الأول إشارة طرح، وفي القوس الثاني إشارتين جمع: ( - )×( + + )
• يُكتَب الحَدُّ الأوّل لوحده دون إشارة التكعيب في القوس الأول قبل إشارة الطَّرْح، هكذا: (س- )×( + + )
• يُكتَب الحَدُّ الثاني لوحده دون إشارة التكعيب في القوس الأول بعد إشارة الطَّرْح: (س-ص)×( + + )
• وبهذا يكون الشكل النهائي للقوس الأول قد انتهى، أما القوس الثاني فيتم تطبيق الخطوات الآتية:
• يُربّع الحد الأول: (س)².
• يُكتَب مربع الحَدُّ الأوّل في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى. (س-ص)×( س² + + )
• يتم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: س×ص.
• يُكتَب ناتج الضرب في القوس الثاني بين إشارتي الجمع: (س-ص)×( س² + (س×ص)+ )
• يربع الحد الثاني: (ص)².
• يُكتَب مربع الحَدُّ الثاني في القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية: (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).
• وبهذا يكون الشكل النهائي للقوسين هو:

(س³- ص³)= (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).

• يُعبَّر عن الفرق بين مكعبين بالكلمات كما يأتي:

مُكعب الحَدِّ الأوّل - مُكعب الحَدِّ الثاني= (الحَدّ الأوّل-الحَدّ الثاني)×(الحَدّ الأوّل تربيع+ الحد الأول× الحد الثاني+الحَدّ الثاني تربيع).

أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُكعّبين

مثال1: حَلّل المِقادير الآتية إلى عواملها:^[٣]

• (64- 216ص³)

الحل:

نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 64 عبارة عن مكعب كامل= 4×4 ×4، كما أنّ الحَدَّ الثاني 216ص³ عبارة عن مكعب كامل= 6ص× 6ص× 6ص، وبما أنَّ الإشارة بين الحَدَّين هي إشارة طَرْح أو فَرْق، إذن هي على صورة فَرْقٍ بين مكعبين.

64 - 216ص³= (4)³ - 6ص³.

نحلل المِقدار (4)³ - 6ص³ كالآتي:

(4)³- 6ص³= (4-6ص)×((4)²+(4×6ص)+ (6ص)²).

(4)³- 6ص³= (4-6ص)×((16)+(24ص)+ (36ص²)).

• أ⁶- 27 س³.

الحل:

نلاحظ بأن الحَدَّ الأول يمثل مكعباً كاملاً: أ² ×أ²× أ²، كما أنّ الحَدَّ الثاني يمثل أيضاً مكعباً كاملاً: 3س×3س×3س.

أ ⁶-27 س³= (أ²)³- (3س ).

نحلل المقدار كالآتي:

(أ²)³- (3س )= (أ²-3س)× ((أ²)² +3ل× أ²+(3ل)²).

(أ²)³- (3س )= (أ²-3س)× (أ⁴ +3ل× أ²+9ل²).

إن تحيلل المقدار (أ²)³- (3س ) يساوي (أ²-3س) (أ⁴ +3ل أ²+9ل²).

• (250أص³- 128أس³)

الحل:

نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 250أص³ عبارة عن=2أ×125ص³=2أ× 5ص× 5ص× 5ص، كما أنّ الحَدَّ الثاني 128أس³ عبارة عن 2أ×4س×4س×4س.

ولجعل الحدين عبارة عن فرق بين مكعبين، لا بد من أخذ (2أ) كعامل مشترك بين الحدين.

250أص³- 128أس³=2أ×(125ص³ -64 س³).

2أ(125ص³ -64 س³)= 2أ×((5ص)³ -(4 س³)).

2أ((5ص)³ -(4 س³))=2أ×(5ص -4 س)((5ص)²+ (5ص× 4س)+(4س)²).

2أ((5ص)³ -(4 س³))=2أ×(5ص -4 س)×((25ص²+ (20ص س)+16س²).

مثال2: خزان مكعب الشكل، مخصص لتعبئة العصائر في عبوات مكعبة من العصير، فإذا علمت أن طول ضلع الخزان يساوي ص، وطول ضلع العبوة الواحدة يساوي س، فإذا قام العمال بتعبئة 125 عبوة من العصير، جد المقدار الجبري الذي يعبر عن كمية العصير المتبقية بالخزان، ثم حلل المقدار.^[٣]

الحل:

نلاحظ بأن حجم الخزان يساوي ص³، أما حجم العبوات التي تم تعبئتها يساوي 125س³.

حجم العصير المتبقي بالخزان= حجم العصير في الخزان- حجم العصير المعبأ بالعبوات.

حجم العصير المتبقي بالخزان= ص³- 125س³.

ويحلل هذا المقدار كالآتي:

ص³- 125س³= (ص-5س)×(ص²+5س ص+25س²).

مثال3: جد ناتج المقدار الآتي، باستخدام قانون تحليل الفرق بين مكعبين: ³0.5- 0.25³

الحل:

³0.5- ³0.25= ( 0.5- 0.25)×((0.5)²+ (0.5×0.25)+(0.25)²).

³0.5- ³0.25= ( 0.5- 0.25)×((0.25)+ (0.125)+(0.0625)).

³0.5- ³0.25= (0.25)×(0.4375).

³0.5- ³0.25= 0.109375

إذن ناتج المقدار:³0.5- ³0.25 يساوي 0.109375.

وللتحقق يمكن تكعيب المقدار الأول والمقدار الثاني وطرحهما من بعضهما البعض.

المراجع

1. ↑ بواسطة Ministry of Education Amman‏، Mathematics Dictionary, Ministry of Education Amman, 1975: Mathematics ...، صفحة 69. بتصرّف.
2. ↑ "Difference of Two Cubes", www.mathsisfun.com. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث ج} زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 24,29,26,28، الوحدة الأولى الجزء الأول، ملف1-45، ملف إجابات أسئلة الدرس(229-266 ص234) جزء أول. بتصرّف.
4. ↑ بواسطة معروف عبدالرحمن سمحان، عبير بنت حميدي الحربي، جواهر بنت أحمد المفرج، إصدارات موهبة: رياضيات الأولمبياد: الجبر: Mathematics Olympiad: Algebra، صفحة 184. بتصرّف.