قوانين الاحتمالات في الرياضيات

نظرية الاحتمالات

نظرية الاحتمالات (بالإنجليزية Probability Theory) هي نظرية تهتم بالتجارب العشوائية التي يمكن توقّع نتائجها قبل حدوثها، ولكن لا يمكن تأكيد نتيجة تجربة ما مُسبقاً. ففي تجربة إلقاء قطعة نقد مرّة واحدة على سبيل المثال، فإنّه يمكن توقع الناتج بأنه سيكون إمّا صورة أو كتابة (ص أو ك)، لكن بالمقابل لا يمكن التأكّد أيّ الخيارين سيظهر في النتيجة. أما الفضاء العينيّ فهو جميع النتائج الممكنة والمقترحة للتجربة العشوائية، ويرمز للفضاء العيني ب (أوميجا).^[١]

أمثلة توضح كيفية إيجاد الفضاء العيني

ومن الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد الفضاء العيني ما يلي:

• مثال1: أكتب الفضاء العيني لتجربة إلقاء قطعة نقد مرة واحدة.^[٢]

الحل:

النتائج الممكنة عند رمي قطعة نقود واحدة هي إما صورة أو كتابة، وبالتالي فإن الفضاء العيني لهذه التجربة= (ص، ك).

• مثال2: أكتب الفضاء العيني لتجربة إلقاء (قطعتي نقود) مرة واحدة.^[٢]

الحل:

النتائج الممكنة عند رمي قطعتين من النقود هي إما صورة مع صورة، أو صورة مع كتابة، أو كتابة مع كتابة، أو كتابة مع صورة، وبالتالي فإن الفضاء العيني لهذه التجربة= ((ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ك)، (ك،ص)).

• مثال3: اكتب الفضاء العيني لتجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة.^[٢]

الحل:

الفضاء العيني لهذه التجربة= (1 ,2, 3, 4, 5, 6).

• مثال4: اكتب الفضاء العيني لتجربة إلقاء قطعة نقد ثم حجر نرد.^[٢]

الحل:

الفضاء العيني لهذه التجربة= ((ص،1)، (ص،2)، (ص،3)، (ص،4)، (ص،5)، (ص،6) (ك،1)، (ك،2)( ك،3)، (ك،4)، (ك،5) ،(ك،6)).

• مثال5: في تجربة عشوائية لاختيار أسرة مكوّنة من طفلين فقط، وتدوين الطفلين بالسجلات حسب الجنس وتسلسل الميلاد، اكتب الفضاء العيني لهذه التجربة.^[٢]

الحل:

الفضاء العيني لهذه التجربة= ((ولد،ولد)، (ولد،بنت)، (بنت،بنت)، (بنت،ولد)).

الحادث

الحادث هو عبارة عن مجموعة جزئية من الأوميجا (الفضاء العيني)، ويرمز له بالحرف ح، وهو الحرف الأول من كلمة حادث.^[٣][٢]

وهناك أكثر من نوعٍ واحد للحوادث، وهي:^[٢]

• الحادث البسيط: هو عبارة عن الحادث الذي فيه عنصر واحدٌ من عناصر الأوميجا.
• الحادث المركّب: هو عبارة عن الحادث الذي فيه عنصرين أو أكثر من عناصر الأوميجا.
• الحادث الأكيد: هو عبارة عن الحادث الذي فيه جميع عناصر الأوميجا دون نقصان أي عنصر.
• الحادث المستحيل: هو الحادث الذي لا يوجد فيه أيّ عنصر من عناصر الأوميجا.

أمثلة توضح كيفية إيجاد عناصر الحادث

ومن الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد الحادث ونوعه ما يلي: 

• مثال1: في تجربة إلقاء حجر نرد لمرة واحدة، اكتب كل مما يلي:^[٢]

1)عناصر الأوميجا.

الحل:

الفضاء العيني= (1, 2, 3, 4, 5, 6).

2) حادث ظهور عدد زوجي.

الحل:

ح1= (2, 4 ,6). ويُعتبرُ حادثاً مركّباً.

3) حادث ظهور عدد يقسم على 3.

الحل:

ح2= (3,6) ويُعتبرُ حادثاً مركّباً.

4) حادث ظهور عدد يقسم على 12.

الحل:

ح3= ( ). وهي مجموعة فارغة أي خالية من أي عناصر أوميجا، أما نوعه فهو حادث مستحيل.

5) ظهور عدد أقل أو يساوي 3.

الحل:

ح4= (3,2,1)، أما نوعه فهو حادث مركب.

5)ظهور عدد أكبر أو يساوي 1 وأقل من 7.

الحل:

ح5= (3 ,2,1,4 ,5, 6)، أما نوعه فهو حادث أكيد.

احتمال الحادث

احتمال وقوع الحادث (ح) هو عدد عناصر ح مقسوماً على عدد عناصر أوميجا.^[٢]

أمثلة على كيفية إيجاد احتمال الحوادث

ومن الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد احتمال الحادث ما يلي:

• مثال1: في تجربة رمي حجر نرد مرة واحدة، ما احتمال ظهور العدد 5، وظهور عدد أكبر من 3.^[٢]

الحل: احتمال ظهور العدد 5 يساوي عدد عناصر ح1 على عدد عناصر الأوميجا.

ل(ح1)=6 /1.

أما احتمال ظهور عدد أكبر من 3 تساوي عدد عناصر ح2 على عدد عناصر الأوميجا.

ل(ح2)=6 /3.

إذن: ل(ح2)=1/2، أو 0.5 (الجواب بأبسط صورة ممكنة).

• مثال2: إحدى شُعب الصف الأول عدد طلابها الكلي 33 طالباً، 13 طالباً (من ذكور)، و20 طالبة (من الإناث)، فإذا تغيب أحد الطلاب، فما احتمال أن يكون من الذكور؟^[٢]

الحل:

احتمال الحادث= عدد عناصر الحادث على عدد عناصر الفضاء العيني.

احتمال أن يكون الغائب من الذكور= عدد عناصر الذكور على عدد عناصر الصف بالكامل.

احتمال أن يكون الغائب من الذكور= 33 /13.

قوانين الاحتمالات

هنالك بعض العمليات يمكن القيام بها على الحوادث؛ كالإتحاد، والتقاطع، والطرح، مما يؤدّي إلى ظهور حوادث جديدة ناتجة من هذه العمليات، ومن هذه العمليات والقوانين ما يلي:^[٢]

• التقاطع (ح1∩ح2): ويعني هذا وقوع الحادثين معاً، وبمعنى آخر فإن تقاطع الحادثين هو عبارة عن العناصر المشتركة بينهما.
• الاتّحاد (حU1ح2): ويعني وقوع أحد الحادثين على الأقل، وبمعنى آخر فإن الاتّحاد هو جمع عناصر الحادث الأول وعناصر الحادث الثاني.
• الطرح (ح1-ح2): هو وقوع الحادث الأول وعدم وقوع الحادث الثاني، أي كتابة عناصر الحادث الأول وعدم كتابة عناصر الحادث الثاني.
• الحوادث المنفصلة (ح1∩ح2= فاي): وهو وقوع كل حادث على حدى ولا يمكن أن يقعا معاً، أي أن الحادثين منفصلين.
• مجموع احتمالات حوادث التجربة = 1: إن (مجموع احتمالات الحوادث البسيطة المكونة للفضاء العيني لأي تجربة عشوائية تساوي واحد).

بعض خواص الاحتمالات

إذا كان أوميجا فضاءاً عينياً لتجربة ما وكان ح1،ح2 حادثين في الفضاء العيني فإن ما يلي ينطبق عليه:^[١]

• إذا كانت ح1 مجموعة جزئية من ح2، فإن ل(ح1) أقل أو تساوي ل(ح2).
• تقع قيمة احتمال أي حادث من الصفر للواحد، حيث أنه لا يمكن أن يكون الاحتمال قيمةً سالبةً، أو أكبر من واحد.
• ل(فاي) تساوي صفر، لأن (فاي) مجموعة خالية من العناصر، وعند قسمتها على عناصر الفضاء العيني فإن ناتج القسمة بالتاكيد صفر.
• ل(ح1-ح2)=ل(ح1)- (ح1 ∩ح2).

أمثلة على قوانين الإحتمالات

• مثال1: صندوق يحتوي على خمسة بطاقات مرقمة من 1 إلى خمسة، إذا سُحبت بطاقة واحدة عشوائية من الصندوق، وتم تسجيل النتيجة، أُكتب عناصر كل من الحوادث التالية:^[٢]
• ح1: ظهور بطاقة تحمل عدد أكبر أو يساوي4.

الحل:

ح1=(4,5).

• ح2: ظهور بطاقة تحمل عدد أقل من3.

الحل:

ح2=(1,2).

• ح1 ∩ح2

الحل:

لا يوجد عناصر مشتركة بين الحادثين لذلك،ح1 ∩ح2= فاي.

• (حU1ح2)

الحل:

ح1 اتحاد ح2 تعني وقوع أحدهما على الأقل، إذن (حU1ح2)=(1,2,4,5).

• مثال2:إذا كانت الحوادث التالية (ح1،ح2،ح3)هي حوادث بسيطة تكون الفضاء العيني لإحدى التجارب العشوائية، فإذا كانت ل(ح1)=0.25، ل(ح2)=0.35، فجد قيمة ل(ح3).^[٢]

الحل:

بما أن الحوادث الثلاثة هي مجموعة جزئية مكونة للأوميجا، إذن: ل(ح1)+ ل(ح2)+ل(ح3)= 1.

0.25+ 0.35+ ل(ح3)=1.

0.60+ ل(ح3)=1، وبطرح العدد 0.60 من الطرفين يصبح الناتج:

ل(ح3)= 0.40

المراجع

1. ^ ^{أ ب} كامل فليفل، فتحي حمدان. (.)، الإحصاء (الطبعة الأولى)، .: المنهل، صفحة 115-125، جزء الأول. بتصرّف.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص} زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 214-228الوحدة السابعة الجزء الثاني، ملف211-227، جزء الثاني. بتصرّف.
3. ↑ "Probability", www.mathsisfun.com, Retrieved 29-12-2017. Edited.