بحث حول الهرم

الهرم

عندما يُذكر اسم الهرم فأول ما يتبادر للذهن هي الأهرامات المصرية، ذات القاعدة المربعة الشكل، فالأهرامات عبارة عن مجسمات تتكون من جوانب مثلثة الشكل وقاعدةٍ واحدة مضلعة، بحيث تلتقي هذه الجوانب عند نقطة تقع أعلى الهرم، فإذا كانت هذه النقطة (قمة الهرم) فوق مركز القاعدة مباشرة كان الهرم قائم الزاوية، أما إذا لم تكن القمة فوق مركز القاعدة مباشرة فيُسمّى حينها بالهرم المائل. كما أن هنالك أهرامات منتظمة وأخرى غير منتظمة، تعتمد على انتظام القاعدة فالهرم الذي قاعدته مضلع منتظم يُسمّى هرماً منتظماً، أما الهرم الذي قاعدته مضلعٌ غير منتظم يُسمّى بالهرم غير المنتظم.^[١]

الأهرامات المصرية

لقد نشأ منذ أكثر من خمسة آلاف عام حضارةٌ في شمال أفريقيا، انبعثت من المساحات الزراعية الموجودة على أطراف نهر النيل، حيث كان لنهر النيل دورٌ كبيرٌ في ازدهار الحضارة المصرية القديمة، واعتُبرت مصر عن طريقه محطةً تجارية رئيسية، فقام المصريون بتشييد المباني الباهرة التي تُبين مدى انتمائهم وتكريمهم لملوكهم وفراعنتهم، وعملوا على إنشاء أماكن للتعبد، والقصور، والأسواق التجارية، وغيرها من المباني المذهلة التي تُعبّر عن عراقة الحضارة المصرية القديمة، فكانت الأهرامات إحدى أهم المباني المذهلة التي قام المصريون القدامى بتشييدها، والتي عُرفوا في جميع أرجاء العالم عن طريقها، فقد بنيت لغاية وضع الفراعنة والملكات فيها بعد انقضاء أجلهم، وتحتوي الأهرامات على أشكال هندسية، فقواعدها مربّعة الشكل أما جوانبها في تمثل مثلثات تتقاطع رؤوسها عند نقطةٍ معينة تُسمى بالقمة أو برأس الهرم.^[٢]

وما يزال عدد من هذه الأهرامات موجوداً إلى وقتنا الحالي، ومن أهمها أهرامات الجيزة حيث تحتوي الجيزة على أكبر ثلاثة أهرامات ما زالت محافظةً على هيئتها حتى الآن، حيث أُنشئت أهرامات الجيزة في الفترة (2500-2600 ق.م)، ويُسمى أكبرها بالهرم الأكبر وهو يحتوي على ما يزيد عن 2,000,000 كتلة حجرية، يبلغ وزن كل منها ما يقارب ال (2.3 طن متري)، وبفعل الزمن سقطت العديد من الحجارة التي كانت تُغطي سطح الهرم، لكن مع كل ذلك بقي الهرم محافظاً على هيئته ومكانه. ولم يكن ليتم تصميم وإنشاء هذه الأهرامات لولا وجود مهندسين وعلماء مصريين موهوبين بالرياضيات، فقد كانت حساباتهم بمنتهى الدقة، جعلت القاعدة مربعة، أما المثلثات فتختلف عن بعضها ب8 بوصات، أي 20سم.^[٢]

الهرم القائم

الهرم القائم هو عبارة عن مجسم ذي ثلاثة أبعاد،^[٣] يتكوّن من قاعدة واحدة مضلعة أي مسطحة وجوانبها عبارة عن قطع مستقيمة، أما جوانب الهرم فتمثل كل منها مثلثاً متساوي الضلعين، كما أن الهرم يخلو من أي خطوط منحنية أومتعرجة. أما أنواع الهرم فتعتمد في مُسمّاها على شكل قاعدة كل منها، فإذا كانت قاعدته مربعة الشكل سُمي هرماً رباعياً، أما إذا كانت قاعدته مثلثةَ الشكل سُمي هرماً ثلاثياً، وإذا كانت خماسية الشكل سُمّي هرماً خماسيّاً، وهكذا.^[٤][١]

حجمه

لإيجاد حجم هرم قائم، يتم إحضار منشور مشترك معه بشكل القاعدة والارتفاع، ومن ثم يُجلب كمية من الرمل ويُعبَّؤ المنشور بالرمل ومن ثم يتم سكبه في الموشور وهكذا إلى حين امتلائه بالرمل. ويُلاحظ هنا بأن الموشور قد امتلأ بالرمل بعد تعبئة الهرم ثلاث مرات بالرمل، وبهذا يُستنتج بأن: حجم الهرم القائم يساوي ثلث حجم الموشور المشترك معه بالقاعدة نفسها والارتفاع، وبالرموز:^[٤]

حجم الهرم القائم= (3/1) حجم المنشور المشترك بالقاعدة والارتفاع.

وبما أن حجم الموشور= مساحة القاعدة×الارتفاع، فإن:

حجم الهرم القائم= (3/1)×مساحة القاعدة×الارتفاع.

ومن الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد حجم هرم قائم ما يأتي:

• مثال1: احسب حجم هرم ثلاثي قائم، إذا علمت أن مساحة قاعدته تساوي 99سم²، وارتفاعه يساوي 10سم.^[٤]

الحل:

نطبق قانون حجم الهرم القائم.

حجم الهرم القائم=(3/1)×مساحة القاعدة×الارتفاع.

نعوض قيمة مساحة القاعدة والارتفاع في القانون، كالآتي:

حجم الهرم القائم= (3/1)×99×10، وباختصار البسط (99) مع المقام (3)، ينتج أن:

حجم الهرم القائم= 33×10.

إذن: حجم الهرم القائم=330سم³.

• مثال2: احسب حجم هرم ثلاثي قائم، إذا علمت أن قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها يساوي 10سم، وارتفاعه يساوي 21سم.^[٤]

الحل:

نُطبّق قانون حجم الهرم القائم.

حجم الهرم القائم=(3/1) × مساحة القاعدة × الارتفاع.

بما أن القاعدة مربعة الشكل، إذن:

مساحة القاعدة= 10×10.

مساحة القاعدة= 100سم².

حجم الهرم القائم= (3/1) × 100 × 21، وباختصار البسط (21) مع المقام (3)، ينتج أن:

حجم الهرم القائم=100×7.

إذن:حجم الهرم القائم= 700سم³.

مساحة سطحه

لمعرفة مساحة سطح أي هرم لا بد من إحضار شبكة له تمثله بشكل مفصل (جوانبه، قاعدته)، فمساحة الهرم هي عبارة عن مساحات جميع أوجهه بالإضافة لمساحة القاعدة التي يحتويها، وبما أن أوجهه عبارة عن الجوانب، بالتالي فإن مساحة أوجهه تساوي المساحة الجانبية لهذا الهرم، وبدلاً من إيجاد مساحة كل مثلث يتم إيجاد مساحة مثلث واحد وضربه بعدد الأوجه الجانبية (في حال تطابق المثلثات)، وبهذا تكون صيغة المساحة الجانبية هي:^[٤]

المساحة الجانبية للهرم=مساحة المثلث الواحد× عدد المثلثات الجانبية.

المساحة الجانبية للهرم= (2/1)×قاعدة المثلث× ارتفاعه×عدد المثلثات الجانبية.

المساحة الجانبية للهرم= (2/1)×محيط قاعدة الهرم× ارتفاعه الجانبي.

أما مساحة سطح الهرم الكلية=المساحة الجانبية+ مساحة القاعدة.

ومن الأمثلة التي تبين كيفية إيجاد مساحة سطح الهرم ما يأتي:

• مثال: احسب المساحة الجانبية لهرمٍ سداسي قائم، إذا علمت أن ارتفاعه الجانبي يساوي 16سم، وطول ضلع قاعدته يساوي 14سم.^[٤]

الحل:

نطبق قانون المساحة الجانبية للهرم القائم.

المساحة الجانبية للهرم= (2/1)×محيط قاعدة الهرم× ارتفاعه الجانبي.

بما أن القاعدة سداسية إذن محيطها= 6×طول ضلعها= 6×14.

المساحة الجانبية للهرم= (2/1)×(6×14)× 16.

المساحة الجانبية للهرم= (2/1)×(84)× 16، وباختصار البسط 16 مع المقام 2، ينتج أن:

المساحة الجانبية للهرم= (84)×8.

إذن: المساحة الجانبية للهرم=672 سم².

وفي حال طُلب إيجاد المساحة الكلية لهذا الهرم، فكل ما علينا عمله هو تطبيق القانون، الآتي: مساحة سطح الهرم الكلية=المساحة الجانبية+ مساحة القاعدة.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Pyramids", www.mathsisfun.com. Edited.
2. ^ ^{أ ب} بواسطة Paul Kobasa‏، موسوعة الاختراعات والاكتشافات: الهندسة وفن العمارة: Inventions and ...، صفحة 6+7. بتصرّف.
3. ↑ بواسطة Richard Elwes‏، (فكرة 1001 عن الرياضيات (الاعداد - الهندسة - الجبر - علم الاحصاء، صفحة 159. بتصرّف.
4. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 140-145ملف(128-155)، الجزء الثاني. بتصرّف.