النسبة وتعريفها
النسبة: مقارنة بين مقياسين ، مثل طول الطالب مقارنة بطول طالب آخر ، أو وزن طالب بآخر. تحتوي النسبة على حدين ، وهما الكميتان اللتان تمت مقارنتهما ببعضهما ، وتسمى الكمية الأولى (مقدم النسبة) ، في حين يطلق على الكمية الثانية (تالي النسبة). تؤخذ أهمية الترتيب في الاعتبار عند تحديد مقدم النسبة من تاليها. يتم الحصول على نسبة مبسطة في أبسط شكل ممكن من خلال تقسيم حدي النسبة على أكبر عامل مشترك بينهما. هناك عدة طرق لكتابة النسبة والتعبير عنها. على سبيل المثال ، إذا أردنا المقارنة بين مبلغين ليكونان المبلغ الأول (أ) والمبلغ الثاني (ب) ، يجب أن يكون هناك عدة صور تعبر عن هذه المقارنة ، ومن هذه الصور ما يلي: أ ، ب ، أ: ب ، وكذلك الكسور المنتظمة يمكن استخدامها بوضع الكمية الأولى في البسط ، والمقدار الثاني (المبلغ الثاني) في المقام الأول. [1] [2]
تعريف التناسب
النسبة: هي تساوي وتعادل نسبتين ، حيث يمكن كتابة الكميتين التناسبيتين في شكل كسرين متساويين ، وفي حالة تبسيطهما، يتم الحصول على نسبتين متساويتين أو متكافئتين. يقال إن اثنين من النسبتين متناسبان ، أي ، a: b = c: d إذا كان ناتج (axd) = ناتج (bxc) ، لأن (a ، d) تسمى طرفي التناسب ، و (c ، d) تسمى متوسط التناسب. [1] [2]
وللنسبة والتناسب أهمية في حياتنا العملية، كما أنها تستخدم لتحديد نسبة المحاليل الطبية التي تم يتم تضمينها في تكوين الأدوية، وهي ذات أهمية كبيرة في فن التصوير الفوتوغرافي، حيث تحدد أبعاد الصورة ، أي نسبة الطول إلى العرض ، التي تجعل الصورة تظهر بوضوح ، وأيضًا لها دور كبير في تصنيع الدهانات لأنها تحسب كمية المواد الكيميائية والألوان التي يجب دمجها بدقة للحصول على اللون المطلوب بجودة عالية. [1]
أمثلة على النسبة والتناسب
مثال: إذا أردنا عمل وصفة لفطيرة تحتوي على 3 أكواب من الزيت وكأسين من الدقيق ، أجب على ما يلي: [1] [3]
- التعبير المقادير باستخدام النسبة.
- عبر عن الكميتين إذا أردنا زيادة الكمية إلى أربعة أضعاف الكمية الأولى.
- الحل:
- بما أن الرقمين تمت مضاعفتهما بمقدار 4 ، فيُضرب حدي النسبة بـ (4) ويصبح:
- (4x2): (4x3)
- = 8: 12
- هل النسبة الناتجة متناسبة مع الأولى؟
- الحل:
- يتم تبسيط النسبتين لأبسط أشكالها ، إن أمكن.
- 2: 3 (يبقى في أبسط شكل).
- 8:12 (البسط والمقام مقسوماً على أكبر عامل مشترك 4 ، ويصبحان بعد الاختصار 2: 3).
- لذلك فهي متناسبة.
- طريقة أخرى لحلها:
- ناتج ضرب حدي التناسب = 2 × 12 = 24.
- الناتج ضرب وسطي التناسب = 3 × 8 = 24.
- ناتج ضرب الطرفين (24) = ناتج ضرب الوسطين (24).
- لذلك فهي متناسبة.
أنواع التناسب
يتم تحديد أنواع التناسب وفقًا للعلاقة بين الكميتين التي تمت اجراء مقارنة بينهما ، ويتم سرد هذه الأنواع على النحو التالي:
تناسب طردي
وهي علاقة طردية حيث ترتبط زيادة واحدة من الكميتين بزيادة أخرى مع قيمة ثابتة مرتبطة بكلا الكميتين ، ويطلق عليها ثابت النسبة. [4]
- مثال: إذا كان أجر العامل لمدة ساعة عمل واحدة 5 دنانير. أجب التالي:
- ما هي العلاقة بين أجور العامل وعدد ساعات العمل؟
- الحل:
- ساعة واحدة = 5 دنانير.
- 2 من ساعات العمل = 10 دينار ،
- 3 ساعات عمل = 15 دينار ،
- 4 ساعات عمل = 20 دينار ..... الخ
- ملاحظة: العلاقة طردية ، فكلما زاد عدد ساعات العمل ، ارتفع أجر العامل.
- سؤال (أ): ما هو ثابت النسبة؟
- الحل:
- الرقم الثابت المرتبط بالخطوتين هو 5 ، أي أن الأجر مضروب في 5 في كل مرة يزيد فيها ساعة واحدة من العمل.
- سؤال (ب): كم من المال تكسبه عند العمل لمدة 8 ساعات متواصلة؟
- الحل:
- الأجر = ثابت النسبة × عدد ساعات العمل.
- الأجر = 5 × 8 ساعات.
- الأجر = 40 دينار ، وهو المبلغ الذي يحصل عليه العامل لمدة 8 ساعات عمل.
من بين الأمثلة المتعددة للنسبة المباشرة نسبة استهلاك الموارد المائية إلى عدد الأشخاص ، وكلما ارتفعت الكثافة السكانية ، زاد استهلاك المياه. [4]
تناسب عكسي
وهي علاقة عكسية ، حيث ترتبط الزيادة في كمية واحدة بانخفاض الآخر بقيمة ثابتة تتعلق بالكميتين معاً ، ويطلق عليها ثابت النسبة. من بين الأمثلة المتعددة على ثابت النسبة، نسبة سرعة السيارة إلى الوقت اللازم للوصول ، وكلما ارتفعت السرعة ، قل الوقت اللازم للوصول ، والعكس بالعكس ، كلما انخفضت السرعة ، كلما زاد الوقت اللازم لــ تصل. [4]
مثال: إذا قام 4 عمال ببناء حاجز ، والذي يستغرق 3 ساعات للبناء ، فقم بالإجابة على ما يلي: [4]
- ما هي العلاقة بين عدد العمال والوقت اللازم لإنجاز العمل؟
- الحل:
- العلاقة عكسية. كلما زاد عدد العمال ، قل الوقت المستغرق لإنهاء المهمة ، لأن زيادتهم تؤدي إلى عمل أسرع ووقت أقل.
- ما هو ثابت النسبة؟
- الحل:
- 3 = 4 ÷ ن، (حيث ن هي النسبة الثابتة).
- بضرب طرفي المعادلة في 4 ، يصبح:
- 3 × 4 = 4 × (4 ÷ ن).
- ن = 12.
- إذا أصبح عدد العمال 6 ، فكم من الوقت نحتاجه لإنهاء العمل؟
- الحل:
- ثابت النسبة ÷ عدد العمال = الوقت اللازم لإكمال العمل.
- 6 ÷ 12 = 2 ، الوقت الذي نحتاجه لإنهاء العمل إذا كان عدد العمال 6 هو ساعتين فقط.
التناسب الأسي
هي علاقة أسية بين كميتين ، (وهذا يعني أن الكمية الأولى تساوي العدد الثابت مرفوعاً إلى قوة الكمية الثانية) ، وقد يكون الأس من المرتبة الثانية أو الثالثة أو ما إلى ذلك. [4]
مثال: تم إسقاط كرة من سطح المبنى ، حيث أن المسافة لإسقاط الكرة تتناسب مع مربع وقت السقوط طرديأ. إذا كنت تعلم أن الكرة تقطع مسافة 19.6 متر بعد ثانيتين ، فجد المسافة بعد 3 ثوان؟ [4]
- الحل:
- (المعادلة 1): المسافة التي سقطت فيها الكرة = (الوقت) ² × ثابت النسبة.
- 19.6 م = 2 × نسبة ثابتة.
- 19.6 م = 4 × ثابت النسبة، وبتقسيم طرفي المعادلة على العدد 4 ، يصبح:
- 4.9 = ثابت النسبة.
- الآن أصبح ثابت النسبة معلوماً ، لذلك نقوم بتعويض ثابت النسبة ، والوقت هو 3 ثوان للعثور على المسافة.
- (المعادلة 2): 4.9 × 3² = المسافة
- 4.9 × 9 = المسافة
- المسافة المقطوعة بعد ثلاث ثوان = 44.1 وهو مطلوب.
المراجع
- ^ أ ب ت ث فدوى الحشاش ،أمين المستريحي،محمد عربيات (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السادس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 178-179-180، الجزء الأول والثاني. بتصرّف.
- ^ أ ب "What is a Proportion in Math? - Definition & Practice Problems" , www.study.com , Retrieved 15-11-2017. Edited.
- ↑ "Ratios" , www.mathsisfun.com , Retrieved 30-10-2017. Edited.
- ^ أ ب ت ث ج ح " Directly Proportional and Inversely Proportional" , www.mathsisfun.com , Retrieved 30-10-2017. Edited.