محتويات
تعريف الدائرة
الدائرة (بالإنجليزية: Circle) هي عبارة عن مجموعة من النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن نقطة ثابتة، ويُسمَّى هذا البُعد نصف قطر الدائرة، أمّا النقطة الثابتة فتعبّر عن مركز الدائرة.[١]
مفاهيم بالدائرة: هناك بعض المفاهيم المرتبطة بالشكل الدائري، ومن هذه المفاهيم ما يأتي:[١]
- الوَتَر: هو كلّ قطعة مستقيمة نهايتا جانبيها تمثلان نقطتين تقعان على الدائرة.
- القُطر: هو الوتر المارّ بمركز الدائرة، ويمثل أطول وتر يمكن رسمه في الدائرة.
- القوس: هو الجزء المأخوذ من منحنى الشكل الدائري.
- القطاع الدائري: هو الجزء المأخوذ من الدائرة، ويحدّه قوس ونصفا قُطرين.
- المَماسّ: القطعة المستقيمة التي تمسّ (تقطع) الدائرة عند نقطة واحدة فقط.
- الزاوية المركزية: هي الزاوية التي يمثّل رأسها منتصف الدائرة تماماً (مركز الدائرة).
- الزاوية المُحيطيّة: هي الزاوية التي يقع رأسها على الخط المنحني الذي يمثل الدائرة، وكل ضلع من ضلعيها يمثل وتراً.
علاقات أساسية للدائرة: هنالك مجموعة من العلاقات الأساسية المرتبطة بالدائرة، ومن هذه العلاقات ما يأتي:[١]
- إن نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها تمثل نسبة ثابتة، حيث يُرمز لها بالعربية الحرف (ط) أو بالرمز اليوناني (π)، أما قيمتها التقريبية فهي تساوي 3.14.
- محيط الشكل الدائري = القطر×ط، ويعبر عنه أيضاً بـ 2×نصف القطر×ط.
- مساحة الشكل الدائري= ط×(نصف القطر)².
ما هو محيط الدائرة
محيط الدائرة
عند وضع سياج حول البيت، أو حول مسبح دائري الشكل، فلا بد من معرفة محيط الدائرة وذلك لحل العديد من المشاكل التي قد تواجه أي شخص بشكل يومي، ويعبر المحيط عن المسافة التي تقع حول الشكل الدائري، والتي تُحسب بضرب القطر بقيمة باي.[٢]
كيفية إيجاد محيط الدائرة يدوياً
تختلف الدائرة عن باقي الأشكال الهندسية، ولإيجاد محيط أي شكل دائري مهما كان بطرق يدوية لا بد من استخدام الخيط، أو الحبل، أو الشريط القياسي، حيث يجلب أحدها ليتناسب مع الشكل الدائري الموجود، ويثبَّت أحد جوانبه على حافة الإطار الدائري من خلال اللاصق، ثم يحاط الطرف الآخر من الشريط القياسي حول الشكل الدائري بحيث يُكمِل دورة كاملة، بعد ذلك تحدد النقطة التي اكتملت الدورة عندها على الشريط القياسي، ويُقَصّ، ويُفَكّ الشريط القياسي من الجهة التي ثُبّتت، ثم يُحدد طوله من خلال القياسات الموجودة عليه أو من خلال المسطرة، فهذا الشريط الذي قُصّ يمثل طول الخط المُنحني الذي يُحيط بالشكل الدائري، والذي يُمثّل محيط الدائرة.[٣]
معادلة محيط الدائرة
في حال رسم دائرة، أو إحضار أي شكل دائري كطبق أو قاعدة علبة دائرية وقيست حوافها وكانت مثلاً تساوي 82 سم، أي المحيط، وقيس كذلك قطرها وكان يساوي 26 سم، فعند قسمة المحيط على القطر ينتج العدد الآتي وهو:3.1538461538، وهي قيمة باي التي تعبر عن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، ولو تكررت هذه الخطوة أكثر من مرة لأكثر من شكل دائري سيبقي الناتج قريباً جداً من القيمة السابقة، حيث تساوي قيمة باي تقريباً 3.1428571، أو 22/7، مع العلم أن هذه القيمة أقرب قيمة يمكن أن يتم التعامل معها في المسائل الرياضية، لأن الباي عدد غير نسبي أي (غير منته وغير دوري)، حيث لا يمكن تمثيله بصورة دقيقة على هيئة كسر عادي أو كسر عشري منته.[٤][٥]
وبما أن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها دائماً يساوي باي، أي بالرموز:[٥]
- π = ر÷ ق، حيث إن ر تمثل طول محيط الدائرة، أما ق فتمثل قطر الدائرة.
- ولجعل ر موضوع القانون يتم ضرب طرفي المعادلة بـ (ق) لينتج أن:
- ر= π × ق، أو ر= 2 ×π× نق ،
- إذن: محيط الدائرة= ق π ، أو محيط الدائرة= 2نق π.
أَمثلة تبين كيفية حساب محيط دائرة
- مثال1: قاعة أرضيتها دائرية الشكل، نصف قطر أرضيتها يساوي 12م، جد محيطها.
- الحل:
- المحيط = نقπ×2.
- يُعوّض نق بالقانون وقيمته 12م، (أُستخدم هذا القانون لأن المعطى في المثال هو نق).
- محيط أرضية القاعة = π12×2 م.
- محيط أرضية القاعة = π24 م. هذا الجواب بدلالة π.
- عند تعويض باي تصبح:
- محيط أرضية القاعة= 3.14×24، وباستخدام الآلة الحاسبة، ينتج أن:
- محيط الدائرة=75.36 م تقريباً.
- مثال2: علبة قاعدتها دائرية، قطرها يساوي 10 سم، جد محيطها.
- الحل:
- المحيط = π×القطر.
- يُعوّض ق بالقانون وقيمته 10 سم، (أُستخدم هذا القانون لأن المعطى في المثال هو ق).
- محيط قاعدة العلبة = π10 سم، هذا الجواب بدلالة π.
- عند تعويض باي تصبح:
- المحيط = 3.14×10، وبتحريك الفاصلة العشرية، ينتج أن:
- محيط الدائرة =31.4 سم تقريباً.
- مثال3:ساحة دائرية الشكل طول قطرها 70م، أراد صاحبها إحاطتها بسياج معدني، فكم تكلفة السياج إذا علمت أنّ سعر المتر الواحد 3 دنانير ونصف.
- الحل:
- نُطبّق قانون محيط الدائرة وهو:
- طول السياج= 2 × π × نق، ( نق=2/70؛ إذن نق=35).
- طول السياج= 2 × (7/22) × 35، (يمكن تبسيط المقدار باختصار البسط مع المقام، في حال عدم استخدام الآلة الحاسبة).
- طول السياج= 2 × 22 × 5
- إذن طول السياج=220م تقريباً.
- (طريقة حل أخرى لإيجاد طول السور):
- طول السياج= π × ق.
- طول السياج= 70×π.
- طول السياج=219.8م تقريباً، وبعد التقريب لأقرب عدد صحيح، ينتج أن:
- طول السياج=220م تقريباً.
- أما بالنسبة لتكلفة السياج= طول السياج × سعر المتر الواحد.
- تكلفة السياج= 220×3.5
- إذن: تكلفة السور= 770 دينار تقريباً.
المراجع
- ^ أ ب ت رجائي سميح العصار، وجواد يونس أبو هليل، ومحمد زهير أبو صبيح، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات: Entrance to the Olympics and ...، صفحة: 65-66. بتصرّف.
- ↑ "How to Calculate the Circumference of a Circle", www.m.wikihow.com. Edited.
- ↑ فدوى الحشاش، أمين المستريحي، محمد عربيات (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السادس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 94-98 الوحدة الثالثة القياس 91-122ملف إجابات الأسئلة 273-305 ص292، جزء الأول. بتصرّف.
- ↑ بواسطة Richard Elwes، (فكرة 1001 عن الرياضيات (الاعداد - الهندسة - الجبر - علم الاحصاء، صفحة 147-148-149.
- ^ أ ب "(Pi (π", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-11-2017. Edited.