أنواع المثلثات

المثلثات

تنتج المثلثات (بالإنجليزية: Triangles) عن تقاطع ثلاث قطع مستقيمة، وتُسمّى هذه القطع المستقيمة أضلاع المثلث، أما ارتفاعه فهو عبارة عن العمود النازل من نقطة رأس المثلث إلى القاعدة، ويبلغ مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مثلث 180°.^[١]

أنواع المثلثات

من حيث الزوايا

تقسم المثلثات حسب زواياها، إلى ثلاثة أنواع، ,وهي:^[١]

• مثلث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right angled triangle).
• مثلث متساوي الزوايا(بالإنجليزية: Equal angles triangle ).
• مثلث مختلف الزوايا (بالإنجليزية: Different angles triangle).

كما يمكن تصنيف المثلثات حسب نوع الزاوية الداخلية إلى ما يأتي:^[٢]

• مثلث حاد الزوايا: هو عبارة عن المثلث الذي يحتوي على ثلاث زوايا؛ قياس كلٍّ منها أقل من 90 درجة.
• مثلث قائم الزاوية: هو عبارة عن المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة قياسها 90 درجة.
• مثلث منفرج الزاوية: هو عبارة عن المثلث الذي يحتوي على زاوية قياسها أكبر من 90 درجة.

من حيث الأضلاع

تُقسَم المثلثات حسب أضلاعها إلى ثلاثة أنواع، وفيما يأتي توضيح لكلٍّ منها:^[١][٢]

• مثلث متساوي الأضلاع (Equilateral Triangle): هو المثلث الذي يتكون من ثلاثة أضلاع متساوية في الطول، وينتج عن هذا التساوي ثلاث زوايا متساوية في القياس، قياس كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين، أو متساوي الساقين (Isosceles Triangle): هو المثلث الذي يتكون من ضلعين متساويين في الطول، وتنتج عن هذا التساوي زاويتان متساويتان في القياس أيضاً، حيث تمثلان الزاويتين المجاورتين للضلعين المتساويين، وهما في الوقت نفسه زاويتا قاعدة المثلث.
• مثلث مختلف الأضلاع (Scaline Triangle): هو المثلث الذي يحتوي على ثلاثة أضلاع؛ قياس طول كلٍّ منها مختلف عن الآخر، وبهذا فإن الزوايا أيضاً مختلفة في القياس.

متوسّط المثلث

متوسط المثلث (بالإنجليزيّة: Median) هو مصطلح يُطلَق على (الخط المستقيم الواصل بين أحد رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له)، أمّا مركز المثلث فإنه يُطلَق على نقطة تقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث، حيث إن مركز المثلث يقسم متوسّط المثلث بنسبة 2:1، فعلى سبيل المثال لو كان هناك مثلث أ ب ج، حيث إن أ د، ب س، ج ر متوسّطات المثلث، والنقاط د، س، ر منصّفات أضلاع، والنقطة م مركز المثلث، فإن طول أ م مثلا طول م د، وطول ب م مثلا م س، وهكذا، وبمعنى آخر إذا كان طول أ م يساوي 4سم، فإنّ طول م د يساوي 2سم.^[٣]

خصائص المثلث

يتميز المثلث بوجود مجموعة من الخصائص تخصه عن غيره من الأشكال، ومن هذه الخصائص ما يأتي:^[٤]

• إذا قيست أي زاوية خارجية للمثلث فإنها ستساوي مجموع الزاويتين الداخليتين له ما عدا الزاوية المجاورة لها؛ أي تساوي مجموع الزاويتين البعيدتين عنها.
• ناتج جمع طول ضلعين في المثلث، أكبر من طول الضلع الثالث.

أمثلة على أنواع المثلثات

مثال: صنّف المثلثات الآتية حسب معطيات كلٍّ منها:

• مثلث قياس زواياه الداخلية: (30°,70°,80°).
• مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (6سم، 3سم، 5سم).
• مثلث قياس زواياه الداخلية: (90°,50°,40°).
• مثلث قياس زواياه الداخلية: (102°,48°,30°).
• مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (2.5سم، 2.5سم، 4سم).
• مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (4م، 4م، 4م).

الحل: 

المعطيات	تصنيف المثلث من حيث الأضلاع أو الزوايا
مثلث قياس زواياه الداخلية( 30°,70°,80°)	مثلث حاد الزوايا؛ وذلك لأنّ قياس كل زاوية داخلية أقل من 90°، وهو كذلك مختلف الأضلاع.
مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث (6سم، 3سم، 5سم)	مثلث مختلف الأضلاع؛ وذلك لأنّ طول كلّ ضلع مختلف عن الآخر، وهو أيضاً مثلث مختلف الزوايا.
مثلث قياس زواياه الداخلية (90°,50°,40°)	مثلث قائم الزاوية، وذلك لاحتوائه على زاوية قياسها 90°، وهو كذلك مختلف الأضلاع.
مثلث قياس زواياه الداخلية (102°,48°,30°)	مثلث منفرج الزاوية؛ وذلك لاحتوائه على زاوية قياسها أكبر من 90°، وهي الزاوية (102)، كما أنه مختلف الأضلاع.
مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث (2.5سم، 2.5سم، 4سم)	مثلث متساوي الساقين.
مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث (4م، 4م، 4م)	مثلث متساوي الأضلاع، وهو أيضاً متساوي الزوايا.

علم المثلثات عند العرب

يعود الفضل في تقدم علم المثلثات إلى علماء الرياضيات المسلمين، حيث صنّفوه كعلم منفصل عن علم الفلك، وكان أول عالم عربي يستعمل براهين نظرية إقليدية في مسائل علم المثلثات هو نصير الدين الطوسي، ممّا أدى إلى وصول علم المثلثات إلى أوروبا في وقت لاحق؛ تحديداً في القرن السابع عشر، ومن علماء الغرب الذين اعتمدوا في أعمالهم على ما قدّمه الطوسي: ساكيرى الذي عمل في الهندسة الإقليدية وكان أساس عمله المعلومات التي استخلصها ووجدها في كتابات ومؤلفات نصير الدين الطوسي، كما ترجم جون واليز كتابات الطوسي ومؤلفاته إلى اللغة اللاتينية؛ حيث استعمل هذه الكتب في محاضراته التي كانت تُعقَد في جامعة أكسفورد.^[٥]

ومن العلماء الآخرين الذين ساهموا في انفصال علم المثلثات عن غيره من العلوم، أبو عبد الله محمد بن جابر البتاني، حيث ترك الحساب بالوتر وانتقل إلى الحساب بنصف الوتر، وتكمن براعة البتاني ونباغته في أنه ترك الطريقة المشهورة لينتقل إلى أخرى أقل شهرةً، لكنّها صحيحة بنسبة أعلى من التي قبلها، كما أنّه يُعدّ أول من وضع جداول التمام والظل.^[٥]

وكان لأبي الوفا البوزجاني دور كبير في تعريف النسبة المثلثية، حيث أوجد أسلوباً جديداً لحساب جداول الجيب، ولم تقتصر جهود علماء المسلمين دراسة المثلثات المستوية فحسب، فقد تناولت المثلثات الكروية، ومن أقوال علماء الغرب التي تصرح بجهود العرب تجاه هذا العلم، قول سميث في كتابه تاريخ الرياضيات: (لم تُدرَس المثلثات الكروية المائلة بصورة جيدة إلا على أيدي العرب في القرن العاشر الميلادي).^[٥]

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} م.محمد زكي، م. محمود سليم (2005)، الرسم الهندسي (الطبعة الأولى)، القاهرة: مجموعة النيل العربية، صفحة: 69-70. بتصرّف.
2. ^ ^{أ ب} "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 20-12-2017. Edited.
3. ↑ معروف عبد الرحمن سمحان، نجلاد بنت عبد العزيز التويجري، ليانا توبان، إصدارات موهبة : رياضيات الأولمبياد: الهندسة، صفحة: 54. بتصرّف.
4. ↑ شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 106-124/ملف: (102-127)، الجزء الثاني. بتصرّف.
5. ^ ^{أ ب ت} نصر محمد عارف، قضايا المنهجية في العلوم الإسلامية و الاجتماعية، صفحة: 43-45. بتصرّف.