قانون حساب محيط المثلث

المُثلّث

يعدّ المُثلّث أحد الأشكال الهندسية الأساسيّة؛ وهو عبارة عن شكل ثنائيّ الأبعاد، مُكوَّن من ثلاثة رؤوس، تتّصل ببعضها بثلاثة أضلاع مستقيمة، وأهمّ ما يميّز المُثلّث هو أنَّ مجموع طولَي أيّ ضلعَين فيه يجب أن يكون أكبر من طول الضّلع الثّالث، كما إنّ مجموع زواياه يساوي 180°.^[١][٢][٣]

أنواع المُثلّثات

هناك تصنيفان للمثلّثات؛ أحدهما تصنيفه تِبعاً لأطوال أضلاعه؛ فإذا كانت أضلاعه جميعها متساويةً في الطّول، فيُسمّى في هذه الحالة المُثلّث المتساوي الأضلاع، وما يميّز هذا النّوع من المُثلّثات هو تساوي قياس زواياه كلّها؛ بحيث تكون قيمة كلّ زاوية 60°، أمّا في حال تساوي ضلعَين فقط من أضلاع المُثلّث، فيُطلَق على المُثلّث اسم المُثلّث متساوي الضّلعَين أو المُثلّث متساوي السّاقين، وأهمّ ما يميّز هذا المُثلّث هو تساوي الزّاويتَين المُقابلتَين للضّلعين المتساويَين، وآخر نوعٍ من المثلّثات هو المثّلث مختلف الأضلاع، حيث تكون أضلاعه غير متساوية في الطّول، كما تكون زواياه مختلفة القِيَم.^[٢][٣]

إذا كان التّصنيف تبعاً لقياس زواياه الداخليّة، فهناك ثلاثة أنواع: الأوّل يُسمّى مثلّثاً قائم الزّاوية، وتوجد فيه زاوية قياسها 90°، والثّاني يُسمّى منفرج الزّاوية، حيث يكون قياس إحدى زواياه أكبر من 90° وأصغر من 180°، والثّالث يُسمّى حادّ الزّوايا، بحيث تكون زواياه جميعها أصغر من 90°.^[٢][٣]

محيط المُثلّث

إنَّ المحيط بصورة عامّة هو عبارة عن المسافة حول الشّكل ثنائيّ الأبعاد؛ أي أنّه حاصل جمع أطوال أضلاع الشّكل،^[٤] ولإيجاد محيط المثلَّث، تُجمَع أطوال أضلاعه الثّلاثة، وسيكون الناتج حينها ذا بُعدٍ واحدٍ، ويُعبَّر عنه بالمعادلة الآتية:^[٥]

محيط المُثلّث=طول الضّلع الأوّل+طول الضّلع الثّاني+طول الضّلع الثّالث

أمثلة على حساب محيط المُثلّث

• مثال (1): مثلّث مختلف الأضلاع، طول ضلعه الأوّل 9سم، والثاني 12سم، والثالث 7سم، جِد مُحيطه.

الحلّ:

بجَمع أطوال الأضلاع، يصبح الناتج كما يأتي:

محيط المُثلّث=طول الضلع الأوّل+طول الضلع الثاني+طول الضلع الثالث

محيط المُثلّث=12+9+7=28سم

• مثال (2): مثلّث أطوال أضلاعه 5سم، و9سم، و11سم، جِد مُحيطه.

الحلّ:

بتعويض المُعطيات في قانون محيط المُثلّث، فإنَّ الناتج سيكون كالآتي:

محيط المُثلّث=طول الضلع الأوّل+طول الضلع الثاني+طول الضلع الثالث

محيط المُثلّث=5+9+11=25سم

• مثال (3): مثلّث طول ضلعه الأوّل 6سم، والثاني 8سم، والثالث 10سم، جِد مُحيطه.

الحلّ:

إنَّ ناتج جمع أطوال الأضلاع الثّلاثة هو كالآتي:

محيط المُثلّث=طول الضلع الأوّل+طول الضلع الثاني+طول الضلع الثالث

محيط المُثلّث=6+8+10=24سم

• مثال (4): مُثلّث متساوي الأضلاع، طول ضلعه 6سم، جِد محيطه.

الحلّ:

بما أنَّ المثلَّث متساوي الأضلاع، فإنَّ أطوال أضلاعه الثلاثة تساوي 6سم، وبجمعها معاً يكون النّاتج:

محيط المُثلّث=طول الضلع الأوّل+طول الضلع الثاني+طول الضلع الثالث

محيط المُثلّث=6+6+6=18سم.

• مثال (5): مثلّث متساوي السّاقين محيطه 10سم، وطول كلٍّ من ضلعَيه المتساويَين 3سم، جِد طول الضّلع الثّالث.

الحلّ:

بتعويض المُعطيات في قانون محيط المُثلّث، فإنَّ الحلّ يكون كالآتي:

محيط المُثلّث=طول الضلع الأوّل+طول الضلع الثاني+طول الضلع الثالث

10=3+3+طول الضلع الثّالث

10=6+طول الضلع الثّالث

بطرح العدد 6 من كلا طرفَي المعادلة، فإنَّ النّاتج سيكون:

طول الضلع الثّالث=4سم

مساحة المُثلّث

إنَّ المساحة بصورة عامّة هي عدد الوحدات المُربّعة الموجودة داخل الشّكل ثُنائيّ الأبعاد،^[٦] وهناك قانون خاصّ لحساب مساحة المُثلّث، ويمكن التّعبير عنه بالقانون الآتي:^[٧]

مساحة المُثلّث=½×طول القاعدة×الارتفاع

والقاعدة: هي الضّلع السُّفليّ للمُثلَّث، أمّا الارتفاع: فيُقصَد به طول العمود النّازل من رأس المُثلّث على قاعدته أو امتدادها.^[٧][٨]

أمثلة على حساب مساحة المُثلّث

• مثال (1): مثلّث طول قاعدته 15سم، وارتفاعه 4سم، جِد مساحته.^[٨]

الحلّ:

باستخدام قانون مساحة المُثلّث وتعويض المُعطيات فيه، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي:

مساحة المُثلّث=½×طول القاعدة×الارتفاع

مساحة المُثلّث=½×15×4

مساحة المُثلّث=½×60=30سم²

• مثال (2): مثلّث قائم الزّاوية، طول قاعدته 6سم، وارتفاعه 9سم، جِد مساحته.^[٨]

الحلّ:

بتعويض المُعطيات في قانون مساحة المُثلّث، فإنَّ الناتج هو:

مساحة المُثلّث=½×طول القاعدة×الارتفاع

مساحة المُثلّث=½×6×9

مساحة المُثلّث=½×54=27سم².

• مثال(3): مثلّث قائم الزّاوية مساحته 18سم²، وطول قاعدته 3سم، جِد ارتفاعه.^[٨]

الحلّ:

بتعويض المُعطيات في قانون مساحة المُثلّث، فالمجهول هو الارتفاع، ويتمّ إيجاد قيمته كما يأتي:

مساحة المُثلّث=½×طول القاعدة×الارتفاع

18=½×3×الارتفاع

بضرب كلا طرفَي المعادلة في العدد 2، يكون النّاتج:

36=3×الارتفاع

بقسمة طرفَي المُعادلة على العدد 3، فإنَّ الناتج النهائيّ هو:

الارتفاع=12سم.

الاقترانات المُثلّثيّة

توجد ثلاثة اقترانات أساسيّة في المُثلّث قائم الزّاوية؛ يُعبّر كلٌّ منها عن النّسبة بين ضلعَين مُحدَّدين من أضلاعه الثّلاثة، وباعتبار أنَّ الزّاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي س، فيمكن التّعبير عن هذه الاقترانات الثّلاث كما يأتي:^[٩]

• الجيب (جا س): هو النّسبة بين الضّلع المُقابل للزّاوية س، والوتر.
• جيب التّمام (جتا س): هو النّسبة بين الضّلع المُجاور للزّاوية س، والوتر.
• الظّل (ظا س): هو النّسبة بين الضّلع المُقابل للزّاوية س، والضّلع المُجاور لها.

يمكن اشتقاق ثلاثة اقترانات أخرى من هذه الاقترانات، وهي:^[٩]

• القاطع (قا س): هو حاصل قسمة الوتر على الضّلع المُجاور للزّاوية س.
• قاطع التمام (قتا س): هو حاصل قسمة الوتر على الضّلع المُقابل للزّاوية س.
• ظلّ التّمام (ظتا س): هو حاصل قسمة الضّلع المُجاور للزّاوية س على الضّلع المُقابل للزّاوية س.

• مثال: مثلّث قائم الزّاوية، طول قاعدته 3سم، وطول وتره 4سم، ومقدار الزّاوية المحصورة بين القاعدة والوتر 30°، جِد مُحيطه.

الحلّ:

إنَّ ارتفاع المُثلّث مجهول، ولإيجاد المحيط يجب إيجاد ارتفاع المُثلّث أوّلاً، وذلك باستخدام الاقتران المُثلثيّ المُناسب للاستفادة من قياس الزّاوية، وفي هذه الحالة، يمكن استخدام الجيب أو جيب التّمام، كما يمكن استخدام القاطع أو قاطع التّمام، وفي هذا المثال سيتمّ استخدام الجيب:

جا30°=0.5

وبما أنَّ الجيب هو عبارة عن طول الضّلع المُقابل للزّاوية مقسوماً على الوتر، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:

0.5=طول الضّلع المجهول/4

وبضرب طرفَي المعادلة في العدد 4:

طول الضّلع المجهول=2

إنَّ أطوال الأضلاع الثلاثة أصبحت معلومةً، ويمكن جمعها معاً لإيجاد محيط المُثلّث، ويتمّ ذلك كالآتي:

محيط المُثلّث=طول الضّلع الأوّل+طول الضّلع الثاني+طول الضّلع الثالث

محيط المُثلّث=2+4+3=9سم.

المراجع

1. ↑ "Triangle Inequality Theorem", TutorVista.com, Retrieved 4-4-2017. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Triangles", MathIsFun, Retrieved 14-3-2017. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} Mary Elizabeth, "What is a Triangle?"، wiseGeek, Retrieved 14-3-2017. Edited.
4. ↑ "Perimeter", Math Goodies, Retrieved 14-3-2017. Edited.
5. ↑ Bonnie Crowe, "How to Find the Perimeter of a Triangle"، Sciencing, Retrieved 14-3-2017. Edited.
6. ↑ Deb Russell (22-12-2015), "The Definition of Area"، ThoughCo., Retrieved 14-3-2017. Edited.
7. ^ ^{أ ب} Deb Russell (18-9-2016), "Area and Perimeter of a Triangle, Rectangle, Parallelogram, Trapezoid and Circle "، ThoughtCo., Retrieved 14-3-2017. Edited.
8. ^ ^{أ ب ت ث} "Area of a Triangle", Math Goodies, Retrieved 14-3-2017. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Trigonometry functions - introduction", Math Open Reference, Retrieved 14-3-2017. Edited.