ارتفاع المثلث

كتابة - آخر تحديث: الأحد ٢١ يوليو ٢٠١٩
ارتفاع المثلث

ارتفاع المثلث

يُعرَّف ارتفاع المثلث بأنه الخط العمودي النازل من إحدى زوايا المثلث -رأس المثلث- إلى الضلع المقابل لهذه الزاوية -قاعدة المثلث-، وبالتالي فإن للمثلث ثلاثة ارتفاعات؛ والارتفاع هو أقصر مسافة تصل بين رأس المثلث والضلع المقابل له، وإذا كانت إحدى الزوايا المقابلة للرأس المُختار منفرجة، فسوف يكون ارتفاع المثلث خارج حدود المثلث بحيث يمكن تحديده بإسقاط عمود من رأس المثلث على امتداد قاعدته.[١]


أنواع المثلثات

المثلث شكل هندسي منتظم ذو ثلاثة أضلاع، وثلاث زوايا ويكون مجموع زواياه 180°، ويُمكن تصنيف المثلثات إلى أنواع وفقاً للأضلاع أو الزوايا كالآتي:[٢]


حسب الأضلاع

يمكن تصنيف المثلّثات تبعاً للأضلاع إلى ثلاثة أنواع:[٢]

  • مثلّث متساوي الأضلاع ( بالإنجليزية: Equilateral Triangle): جميع أضلاعه متساوية في الطول.
  • مثلّث متساوي الساقين ( بالإنجليزية:Isosceles Triangle): فيه ساقين (ضلعين) متساويين في الطول.
  • مثلّث مختلف الأضلاع ( بالإنجليزية: Scalene Triangle): تكون جميع أضلاعه مختلفة في الطول.


حسب الزوايا

يمكن تصنيف أنواع المثلثات وفقاً للزوايا كالآتي:[٢]

  • مثلث قائم الزاوية ( بالإنجليزية:Right Triangle): تكون إحدى زواياه الداخلية قائمة (90°).
  • مثلث منفرج الزاوية ( بالإنجليزية:Obtuse Triangle): تكون إحدى زواياه الداخلية منفرجة (أكبر من 90° ولكن أقل من 180°).
  • مثلث حاد الزاوية ( بالإنجليزية:Acute Triangle): تكون جميع زواياه الداخلية حادة (أقل من 90°).
  • مثلث متساوي الزوايا ( بالإنجليزية:Equiangular triangle): تكون جميع زواياه متساوية (60°).


حساب ارتفاع المثلث

باستخدام قانون مساحة المثلث

يتم حساب ارتفاع المثلث إذا عُلمت مساحته وطول قاعدته بواسطة قانون مساحة المثلث.[٣]

مساحة المثلث = 1/2 القاعدة × الارتفاع

ويمكن تحويل قانون مساحة المثلث إلى صيغة مباشرة لحساب ارتفاع المثلث كالآتي:

الارتفاع = 2 × المساحة / القاعدة

مثال: ما ارتفاع مثلث مساحته 20 سم2 وطول قاعدته 4 سم؟[٤]

الحل: بتعويض القيم المعطاة في قانون المساحة

مساحة المثلث = 1/2 ×القاعدة × الارتفاع

20 = 1/2 × 4 × الارتفاع

20 = 2 × الارتفاع، وبقسمة طرفي المعادلة على 2، يصبح:

الارتفاع = 10 سم


باستخدام نظرية فيثاغورس

مثلث قائم الزاوية

تختص نظرية فيثاغورس بحساب ارتفاع المثلث القائم الزاوية إذا عُلم طول قاعدته ووتره وفقا للصيغة الآتية:[٥]

الوتر2 = القاعدة 2 × الارتفاع 2

مثال: مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 6 سم، وطول الوتر 7 سم، ما ارتفاعه؟[٥]

الحل: بتعويض المعطيات المتوفرة في نص نظرية فيثاغورس

الوتر2 = القاعدة 2 × الارتفاع 2

7 2 = 6 2 + الارتفاع 2

49 = 36 + الارتفاع 2 وبطرح 36 من طرفي المعادلة

الارتفاع = 13√، ويساوي تقريبا 3.6 سم.


مثلث متساوي الساقين

يُمكن استخدام نظرية فيثاغورس في معرفة ارتفاع المثلث متساوي الساقين إذا عُلم طول قاعدته وطول أحد ضلعيه المتساويين، وذلك بالقيام بالخطوات الآتية:[٦]

  • يُقسم مثلث متساوي الساقين من المنتصف بإسقاط عمود من الرأس على القاعدة، فيتكون مثلثان قائما الزاوية متطابقان.
  • يُعتبر طول أحد الضلعين هو طول الوتر.
  • يُعتبر طول قاعدة المثلث قائم الزاوية هو طول نصف قاعدة المثلث متساوي الساقين.
  • تطبيق قانون نظرية فيثاغورس: الوتر2 = (القاعدة)2 + (الارتفاع)2

مثال: مثلث متساوي الساقين طول أحد ضلعيه المتساويين 5 سم، وطول قاعدته 6 سم، فما ارتفاعه؟[٧]

الحل: بتطبيق الخطوات السابقة:

  • يُقسم مثلث متساوي الساقين من المنتصف بإسقاط عمود من الرأس على القاعدة، فيتكون مثلثان قائما الزاوية متطابقان.
  • بتطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين قائمي الزاوية واعتبار أن طول الوتر = 5 سم، وطول قاعدة مثلث قائم الزاوية = 3 سم.
  • الوتر2 = (القاعدة)2 + (الارتفاع)2
  • 5 2 = 3 2 + (الارتفاع)2
  • 25 = 9 + (الارتفاع)2 وبطرح 9 من طرفي المعادلة
  • الارتفاع 2 = 16، وبأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة يصبح:
  • الارتفاع = 4 سم.


باستخدام الاقترانات المثلثية

تُساعد الاقترانات المثلثية ( بالإنجليزية: Trigonometric Functions) على إيجاد الزوايا والمسافات، وتُستخدم كثيراً في العلوم والهندسة وألعاب الفيديو، ويمكن من خلالها إيجاد الزوايا أو الأضلاع في المثلثات، وأكثر المثلثات شيوعاً في استخدامها هو المثلث القائم الزاوية.[٨]

تُستخدم تلك الاقترانات عندما يكون معلوماً في المثلث طول ضلعين وزاوية محصورة بينهما، وباعتبار أنَّ الزّاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي س، فيمكن التّعبير عن هذه الاقترانات كما يأتي:[٩]

  • الجيب: يرمز له بالرمز (جا س) = الضلع المُقابل للزاوية س/ الوتر.
  • جيب التمام: يرمز له بالرمز (جتا س) = الضلع المُجاور للزاوية س/ الوتر.
  • الظل :يرمز له بالرمز (ظا س) = الضلع المُقابل للزاوية س/ الضلع المُجاور لها.

يمكن اشتقاق ثلاثة اقترانات أخرى من الاقترانات السابقة:

  • القاطع (قا س)= الوتر/ الضلع المُجاور للزاوية س.
  • قاطع التمام (قتا س)= الوتر/ الضلع المُقابل للزاوية س.
  • ظل التمام (ظتا س)= الضلع المُجاور للزاوية س/ الضلع المُقابل للزاوية س.

يمكن استخدام أحد القوانين الآتية في حساب ارتفاع المثلث أَ بَ جَ بحيث أَ بَ جَ زوايا المثلث ، و أ ب ج أضلاعه:

  • قانون الجيب : أ / جا أَ = ب / جا بَ = ج / جا جَ.[١٠].
  • قانون جيب التمام :للمثلث أ ب ج حيث أضلاعه : ، وزواياه أ َ ، ب َ ، ج َ:[١١]

أ222-2ب ج جتا(أَ).

ب222-2أج جتا(بَ)

ج222-2أب جتا(جَ). 

مثال 1: مثلث متساوي الساقين طول ضلعه 10 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما 120° ما ارتفاعه؟[١٢]

الحل: بإسقاط عمود من رأس المثلث بحيث ينصف الزاوية إلى منتصف قاعدته يتكون مثلثين قائمي الزاوية متطابقين الوتر في أحدهما 10 سم وزاوية الرأس 60°.

باستخدام قانون (جتا س) = الضلع المُجاور للزاوية س/ الوتر، وباعتبار أن الارتفاع هو الضلع المجاور للزاوية.

(جتا س) = الارتفاع / الوتر 

جتا 60° = الارتفاع / 10 وبضرب طرفي المعادلة ب 10

الارتفاع = جتا 60° × 10 = 5 سم


حساب ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع

المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع أضلاعه وجميع زواياه وتساوي 60°، وبما أن جميع الارتفاعات الثلاثة سيكون لها نفس الطول إذن يمكن حساب الارتفاع مباشرة من خلال العلاقة الرياضية الآتية:[٣]

الارتفاع = (طول الضلع × 3 √) / 2

مثال: مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 12 سم ما ارتفاعه؟[١٣]

الحل: بتعويض طول الضلع بالعلاقة السابقة:

الارتفاع = (طول الضلع × 3 √) / 2

الارتفاع = ( 12 × 3 √ ) / 2

الارتفاع = 6 × 3 √ وباستخراج قيمة 3 √ بواسطة الآلة الحاسبة يصبح:

الارتفاع = 10.39 سم تقريباً

يمكن أيضاً حساب ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع باستخدام نظرية فيثاغورس وذلك بتطبيق نفس الخطوات السابقة المتبعة في مثلث متساوي الساقين.[٤]


المراجع

  1. "Altitude of a triangle", www.mathopenref.com, Retrieved 14-4-2019. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Classifying Triangles by Sides or Angles", www.cliffsnotes.com, Retrieved 14-4-2019. Edited.
  3. ^ أ ب Hanna Pamuła, "Triangle Height Calculator"، www.omnicalculator.com, Retrieved 18-4-2019. Edited.
  4. ^ أ ب "How to Find the Height of a Triangle", www.wikihow.com, Retrieved 18-4-2019. Edited.
  5. ^ أ ب "The Pythagorean Theorem", www.montereyinstitute.org, Retrieved 11-4-2019. Edited.
  6. "How to Find the Height of a Triangle", www.wikihow.com,updated 29-3-2019، Retrieved 14-4-2019. Edited.
  7. "How to Find the Area of an Isosceles Triangle", www.wikihow.com, Retrieved 18-4-2019. Edited.
  8. "Introduction to Trigonometry", www.mathsisfun.com, Retrieved 14-4-2019. Edited.
  9. "Trigonometry functions - introduction", mathopenref.com, Retrieved 14-4-2019. Edited.
  10. "The Law of Sines", www.mathsisfun.com, Retrieved 14-4-2019. Edited.
  11. "The Law of Cosines", www.mathsisfun.com, Retrieved 14-4-2019. Edited.
  12. "How to Find the Area of an Isosceles Triangle", www.wikihow.com, Retrieved 14-42019. Edited.
  13. "Area of an Equilateral Triangle", www.mathcaptain.com, Retrieved 18-4-20019. Edited.