ما معنى المنوال

مقاييس النزعة المركزية

تُعرف مقاييس النزعة المركزية (بالإنجليزية: central tendency) على أنها نزوع المُشاهدات عن نقطة الوسط، ونقطة الوسط هي عبارة عن المركز الذي تتجمّع حوله غالبية التكرارات والمشاهدات، ومن أشهر هذه المقاييس المستخدمة في علم الإحصاء الوسط الحسابيّ، والوسيط، والمنوال، والوسط الهندسيّ، والوسط التوافقي (بالإنجليزية: Harmonic mean).^[١][٢]

و فيما يأتي تعريف لأشهر ثلاثة مقاييس للنزعة المركزية:^[١][٢]

• الوسط الحسابي: (بالإنجليزية: Arithmetic mean)، الوسط الحسابي لمجموعة من القيم أو المشاهدات هو عبارة عن حاصل جمع هذه المشاهدات، ومن ثمّ تقسيمها على عددها.
• الوسيط: (بالإنجليزية: Median)، هو عبارة عن القيمة الوسطى بين مجموعة قيم، حيث يتم ترتيب القِيم بشكل تنازليّ أو تصاعديّ، ومن ثم تعيين المُشاهدة الوُسطى، بحيث تُمثّل هذه المشاهدة قيمة الوسيط، وذلك عندما يكون عدد المشاهدات الكلي فردياً، أمّا في حال كان عدد المشاهدات زوجياً حيث يوجد مشاهدتان في المنتصف، حينها يتمّ أخذ الوسط الحسابيّ لهما وذلك عن طريق جمع القيمتين، ومن ثم تقسيم الناتج على 2، وبهذا فإن ناتج التقسيم هو الوسيط.
• المنوال: (بالإنجليزية: Mode)، يُعرَّف المنوال لمجموعة من القيم أو المشاهدات على أنه المشاهدة التي تكرّرت أكثر من غيرها، أي عدد تكراراتها فاق باقي المشاهدات.

حساب المنوال يدويّاً

المنوال هو المشاهدة الأكثر تكراراً بين باقي المشاهدات، ويختلف حساب المنوال على حسب نوع البيانات؛ فطريقة إيجاد المنوال للبيانات غير المبوّبة يختلف عن طريقة إيجاده للبيانات المبوّبة، وفيما يأتي توضيح لهذه الطرق.^[٣]

حساب المنوال في حال كانت البيانات غير مبوبة

يمكن إيجاد المنوال للبيانات غير المبوبة بمُنتهى البساطة والسهولة، ففي حال تكرار قيمة واحدة ستكون هي بالتأكيد المنوال، أما عند تكرار قيمتين وكانت عدد تكراراتهما متساوٍ، حينها ستكون كلتا القيمتين تمثلان المنوال، أما إذا كان عدد تكرار إحدى القيمتين يفوق الأخرى فحينها القيمة التي عدد تكرراتها أكبر هي التي تمثل المنوال.^[٣] أما بالنسبة لوجود المنوال أو عدمه، فذلك يرجع لتكرار البيانات فبعض البيانات لا يوجد فيها قيمة مكرّرة، وبهذا فهي تخلو من المنوال، أي لا يوجد لها منوال، وبالمقابل فإن بعض البيانات الأخرى قد تحتوي على منوال واحد أو أكثر من منوال.^[١]

ومن الأمثلة التي توضّح كيفية حساب المنوال للبيانات غير المبوبة ما يأتي:

• مثال1: إذا كانت البيانات الآتية تمثل أجور العمال اليومية في إحدى المصانع:6,5,6,5,9,5,7 جد المنوال لأجور العمال اليومية.^[١]

الحل:

بناءً على تعريف المنوال فهو القيمة الأكثر تكراراً من بين القيم.

نلاحظ عن طريق الاطّلاع على القيم المعطاة بأن القيمة 6 تكررت مرتين، والقيمة 5 تكررت ثلاث مرات.

وبهذا نستنتج بأنه يوجد منوال واحد فقط.

إذن: المنوال هو 5.

• مثال 2: تمثل البيانات الآتية علامات 12 طالبة في مادة اللغة العربية: 67,45,55,53,72,45,88,96,100,99,100,48 احسب قيمة المنوال لهذه العلامات.^[١]

الحل:

بناءً على تعريف المنوال فهو القيمة الأكثر تكراراً بين المشاهدات.

نلاحظ عن طريق الاطّلاع على المشاهدات المعطاة بأن المشاهدة 100 تكررت مرتين، كما أن المشاهدة 45 تكرّرت أيضاً مرتين، بينما كان تكرار باقي المشاهدات في كل منها لا يتعدّى المرة الواحدة.

وبهذا نستنتج بأنه يوجد منوالان وهما: المنوال الأول 100، والمنوال الثاني 45.

إذن المنوال هو 100,45

• مثال3: إذا كانت البيانات الآتية تمثل أعمار بعض الموظفين في إحدى الشركات:28,38,51,32,22,20 جد المنوال لأعمار هؤلاء الموظفين.

الحل:

بناءً على تعريف المنوال فهو القيمة الأكثر تكراراً من بين القيم.

نلاحظ عن طريق الاطّلاع على القيم المعطاة بأن جميع القيم قد تكرّرت لمرة واحدة فقط.

وبهذا نستنتج بأنه لايوجد منوال.

إذن: المنوال غير موجود.

حساب المنوال في حال كانت البيانات مبوبة

يمكن إيجاد المنوال للبيانات المبوبة عن طريق عدة طرق، منها جبرية ( طريقة بيرسون، طريقة كينج)، ومنها بيانية، وفي ما يأتي توضيح لإحدى طرق حساب المنوال جبرياً:^[٣]

طريقة الفروق لبيرسون

في هذه الطريقة يُحسب المنوال عن طريق القانون الآتي: الحد الأدنى للفئة المنوالية + (تكرار الفئة المنوالية - تكرار الفئة التي تتبع الفئة المنوالية مباشرة) / ((تكرار الفئة المنوالية - تكرار الفئة التي تتبع الفئة المنوالية مباشرة) + (تكرار الفئة المنوالية - تكرار الفئة التي تسبق الفئة المنوالية)) × طول الفئة، وبالرموز المنوال= أ+(ف1)/ (ف1+ف2)×ل.

فيما يأتي مثال يبين حساب المنوال بطريقة بيرسون:^[٣]

• مثال: يمثل هذا الجدول علامات الطلاب الوزارية بمادة الرياضيات، حيث كانت هذه العلامات مبوبة كالآتي:

الحل:

أولاً: يتم تحديد الفئة المنوالية عن طريق أكبر تكرار (عدد طلاب) في عمود التكرارات، وهي الفئة 40-50 لأن عدد تكراراتها أكبر شيء وهي 38.

ثانياً: يتم تحديد الحد الأدنى للفئة المنوالية وهو 40.

ثالثاً: تُحسب قيمة ف1، ف2

ف1= تكرار الفئة المنوالية- تكرار الفئة التي تتبعها، ف1=38-22، إذن: ف1=16.

ف2= تكرار الفئة المنوالية - تكرار الفئة التي تسبقها، ف2=38-22،إذن:ف2=16.

رابعاً: تُحسب قيمة ل وهي طول الفئة (الحد الأعلى للفئة المنوالية - الحد الأدنى لها).

ل= 50-40، إذن: ل= 10.

يتم تعويض القيم في القانون، كالآتي:

المنوال= 40 + ((16)/(16+16))× 10.

المنوال= 40 +(32/16)×10.

المنوال=40 +(2/1)×10.

المنوال= 40 +(2/10).

المنوال= 40+5.

إذن المنوال يساوي45.

حساب المنوال باستخدام برمجيّة إكسل

لإيجاد قيمة المنوال باستخدام الحاسوب، هناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتّباعها لإيجاد قيمة المنوال الصحيحة، وهي:^[١]

• أولاً: النقر على قائمة (ابدأ)، ومن ثمّ فتح قائمة البرامج، واختيار برمجية إكسل.
• ثانياً: تعبئة القيم والمشاهدات في خلايا مرتّبة بشكل عموديّ، بحيث توضَع كلّ مشاهدة في خليّة.
• ثالثاً: تعيين خليّة فارغة وذلك لوضع قيمة المنوال فيها.
• رابعاً: اختيار دالّة (fx) من قائمة إدراج، ثمّ تحديد المنوال (Mode)، ومن ثم النقر على زر موافق، بعدها تُعيّن الخلايا المُراد حساب المنوال لها، والنقر مرّةً أخرى على زر موافق.
• بعد هذه الخطوات سيظهر المنوال (القيمة الأكثر تكراراً) في الخلية التي تمّ تعيينها مسبقاً لهذا الغرض.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} جهاد العناتي، زينب مقداد، عصام شطناوي، فراس العمري (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السابع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة صفحة 208-215 الملف الأول 182-213 الملف الثاني 214-234، جزء الأول. بتصرّف.
2. ^ ^{أ ب} أ.د بركات عبد العزيز (.)، مقدمة في التحليل الإحصائي لبحوث الإعلام الدار المصرية اللبنانية، صفحة: 112-118. بتصرّف.
3. ^ ^{أ ب ت ث} استاذ قسم الرياضيات جامعة دمشق محمد مفيد القوصي، الكفايات المهنية في المؤسسات التربوية-الاحصاء الوصفي والاستدلالي، صفحة 133-134. بتصرّف.