ما هو قانون الفرق بين مكعبين

كتابة - آخر تحديث: السبت ٢١ يوليو ٢٠١٩
ما هو قانون الفرق بين مكعبين

قانون الفرق بين مكعبين

يُمكن تحليل الفرق بين مكعبين إلى حاصل ضرب حدين في ثلاثة حدود، وذلك كما يأتي:
س3 - ص3= (س - ص)(س2 + س ص + ص2)، وتكون الإشارات كما يأتي:[١]

  • القوس الأول يكون نفس الإشارة.
  • القوس الثاني يكون الحد الأوسط عكس الإشارة، أمّا الحد الأخير فهو دائماً موجب.


أمثلة على الفرق بين مكعبين

المثال الأول

مثال: ما هي عوامل الاقتران (س3 - 8)؟[٢]
الحل:

  • البحث عن عامل مشترك أكبر بين الحدين، وفي هذه الحالة العامل المشترك الأكبر هو 1.
  • إعادة كتابة السؤال على شكل فرق بين مكعبين، وذلك كما يأتي:
    (س)3 - (2)3.
  • تجاهل الأقواس، وكتابة الناتج وهو (س - 2).
  • اتباع قاعدة (تربيع-ضرب-تربيع)، وذلك كما يأتي:
    • تربيع الحد الأول (س) هو (س2).
    • ناتج ضرب الحد الأول بالثاني هو (2س).
    • ناتج تربيع الحد الثاني هو (4).
  • بالنسبة للإشارات تكون (نفس-عكس-دائماً موجب)؛ حيث إن القوس الأول يكون له نفس الإشارة في السؤال الأصلي، وأمّا القوس الثاني فتكون الإشارة الأولى فيه عكس السؤال الأصلي، والإشارة الثانية دائماً موجبة.
  • وبالتالي فإنّ الجواب (س - 2)(س2 + 2س + 4).


المثال الثاني

مثال: حلل ما يأتي إلى عوامله 40ل3 - 625ع3؟[١]
الحل:

  • إخراج عامل مشترك أكبر، وذلك كما يأتي:
    40ل3 - 625ع3
    = 5 (8ل3 - 125ع3).
  • كتابة كل حد على شكل أس مرفوع لقوة 3، وذلك كما يأتي:

    3 - 125ع3
    = (2ل)3 - (5ع)3.
  • استخدام طريقة تحليل الفرق بين مكعبين إلى عوامله، وذلك كما يأتي:

    5(8ل3 - 125ع3)
    = 5((2ل)3 - (5ع)3)
    =5[(2ل - 5ع)((2ل)2 + 10 ل ع + (5ع)2)]
    =5(2ل - 5ع)(4ل2 + 10 ل ع + 25ع2)


المثال الثالث

مثال: ما قيمة تحليل القيمة الآتية إلى عواملها 125 - 64؟[٣]
الحل:
بما أنّ 125 هي 35، و64 هي 34 يُمكن حل السؤال بناءً على الفرق بين مكعبين.

125 - 64= 35 - 34

= (5 -4)(25+ 5(4) + 24)
= (5 - 4)(25 + 20 + 16)
= (1)(61) = 61.


المراجع

  1. ^ أ ب "Sum and Difference of Cubes", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-5-2019. Edited.
  2. "difference of cubes", www.mesacc.edu, Retrieved 6-5-2019. Edited.
  3. "Sums and Differences of Cubes", study.com, Retrieved 6-5-2019. Edited.